- •Теория процентов
- •Эффективная ставка процента
- •Эквивалентность различных процентных ставок
- •15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае простых процентов.
- •16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае кратного начисления сложных процентов.
- •Инфляция
- •18. Выведите формулу Фишера.
- •19. Темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно. Найдите темп инфляции за период .
- •Финансовые потоки, ренты
- •20. Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока.
- •Расчет параметров ренты
- •30. Пусть заданы n, r, s. Найдите процентную ставку I .
- •31. Найдите приведенную величину и наращенную сумму вечной ренты.
- •32. Для бессрочной (вечной) ренты определить, что больше увеличит приведенную стоимость этой ренты; увеличение рентного платежа на 2% или уменьшение процентной ставки на 2%?
- •33. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты постнумерандо.
- •34. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты пренумерандо.
- •35. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты постнумерандо (случай ).
- •36. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты пренумерандо (случай ).
- •Конверсия рент
- •56. Замените годовую ренту с параметрами p–срочной рентой с параметрами .
- •57. Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.
- •58. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.
- •Доходность актива
- •63. В чем состоит синергетический эффект при рассмотрении доходности актива за несколько периодов? Приведите пример.
- •Принятие решений в условиях полной и частичной неопределенности
- •64. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 3х4, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •65. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 4х5, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •66. Сформулируйте правила Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Приведите примеры.
- •67. Сформулируйте правила принятия решений в условиях частичной неопределенности. Приведите примеры.
- •Портфельный анализ
- •68. В чем состоит выделенная роль равномерного и нормального распределений?
- •69. Выведите формулу доходности портфеля из n–бумаг через доходности отдельных бумаг.
- •70. Опишите портфель из двух бумаг в случае полной корреляции.
- •81. Найдите координаты касательного портфеля (его доходность и риск).
- •Долгосрочная финансовая политика
- •82. Стоимость и структура капитала.
- •83. Теория Модильяни-Миллера без налогов.
- •84. Теория Модильяни-Миллера с учетом корпоративных налогов.
- •85. Модификация теории Модильяни-Миллера для компаний с конечным временем жизни.
Теория процентов
1. Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.
f(t) = (1+i)t < g(t) = 1+ ti, если 0 < t < 1
f(t) = (1+i)t > g(t) = 1+ ti, если t >1
Для второй функции f(t) имеем f’(t)= ln2(1+i)(1+i)t > 0, следовательно, f(t) является выпуклой вниз функцией при t > 0, а g(t) = 1+it является хордой к f(t), т.к. уравнение f(t)=g(t) или (1+i)t = 1+itимеет два решения: t=0, t=1.
Следовательно, (1+i)t < 1+ti, если 0 < t < 1, и (1+i)t > 1+ti, если t > 1.
2. Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.
3. Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.
По второму замечательному пределу , следовательно
Эффективная ставка процента
4. Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов (3 случая).
-
m-кратное начисление процентов
=> iэф=i
-
n-ый период начисления
-
инфляция
5. Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая).
-
m-кратное начисление процентов
-
n-тый период начисления
-
инфляция
Эквивалентность различных процентных ставок
7. Эквивалентность простых и сложных процентов
В простейшем случае однократного начисления процентов имеем:
Откуда
В случае m-кратного начисления процентов имеем за n-периодов
Откуда
8. Эквивалентность простых и непрерывных процентов
9. Эквивалентность сложных и непрерывных процентов
Приравняем наращенные суммы в случае начисления сложных и непрерывных процентов за n-периодов
Где
- ставка сложных процентов
- ставка непрерывных процентов
Сокращая это неравенство на , и извлекая из обеих частей корень n степени (для сокращения n в показателе степени), получим
“Правило 70”, “Правило 100”, увеличение капитала в произвольное число раз
10. Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.
отсюда , разлагая по степеням i, получим следовательно, откуда , окончательно получаем
11. Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.
разлагая по степеням i, получим
12. Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.
13. Выведите “Правило 100”
отсюда откуда , или (если i выражена в %)
14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке i в случае сложных процентов.
Рассмотрим задачу об увеличении капитала в произвольное (n) число раз в схеме сложных процентов при данной процентной ставке i. Это правило легко получить из формулы сложных процентов.
Действительно, , отсюда . Разлагая по степеням i, получим . Следовательно, , откуда
Учет следующего (квадратичного) по i члена в разложении дает результат
Учитывающий срок роста капитала в n раз на
Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме сложный процентов при данной процентной ставке i необходимо в “Правиле 70” лишь сделать замену