- •Теория процентов
- •Эффективная ставка процента
- •Эквивалентность различных процентных ставок
- •15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае простых процентов.
- •16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае кратного начисления сложных процентов.
- •Инфляция
- •18. Выведите формулу Фишера.
- •19. Темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно. Найдите темп инфляции за период .
- •Финансовые потоки, ренты
- •20. Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока.
- •Расчет параметров ренты
- •30. Пусть заданы n, r, s. Найдите процентную ставку I .
- •31. Найдите приведенную величину и наращенную сумму вечной ренты.
- •32. Для бессрочной (вечной) ренты определить, что больше увеличит приведенную стоимость этой ренты; увеличение рентного платежа на 2% или уменьшение процентной ставки на 2%?
- •33. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты постнумерандо.
- •34. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты пренумерандо.
- •35. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты постнумерандо (случай ).
- •36. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты пренумерандо (случай ).
- •Конверсия рент
- •56. Замените годовую ренту с параметрами p–срочной рентой с параметрами .
- •57. Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.
- •58. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.
- •Доходность актива
- •63. В чем состоит синергетический эффект при рассмотрении доходности актива за несколько периодов? Приведите пример.
- •Принятие решений в условиях полной и частичной неопределенности
- •64. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 3х4, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •65. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 4х5, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •66. Сформулируйте правила Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Приведите примеры.
- •67. Сформулируйте правила принятия решений в условиях частичной неопределенности. Приведите примеры.
- •Портфельный анализ
- •68. В чем состоит выделенная роль равномерного и нормального распределений?
- •69. Выведите формулу доходности портфеля из n–бумаг через доходности отдельных бумаг.
- •70. Опишите портфель из двух бумаг в случае полной корреляции.
- •81. Найдите координаты касательного портфеля (его доходность и риск).
- •Долгосрочная финансовая политика
- •82. Стоимость и структура капитала.
- •83. Теория Модильяни-Миллера без налогов.
- •84. Теория Модильяни-Миллера с учетом корпоративных налогов.
- •85. Модификация теории Модильяни-Миллера для компаний с конечным временем жизни.
34. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты пренумерандо.
По сравнению с рентой постнумерандо начисления на каждый член ренты (за исключением последнего) выше в (1+i) раз за счет начислений за первый период. Наращенная величина р-срочной ренты - рента представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1+i)1/p:
Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо S равна сумме постнумерандо умноженной на (1+i):
Аналогично для приведенной величины:
Пусть проценты начисляются k раз в году и k=1. Приведенная величина ренты постнумерандо будет и равна сумме геометрической прогрессии с a1=R/p, q= и nnp :
Затем умножив на (1+i) получаем:
35. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты постнумерандо (случай ).
Число членов ренты равно np, платежи по R/p каждый, начисление процентов k раз в году. Наращенная величина р-срочной ренты равна сумме геометрической прогрессии с первым членом R/p и знаменателем (1+i/k)k/p:
Для приведенной стоимости:
36. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты пренумерандо (случай ).
Для приведенной стоимости р- срочной ренты имеем:
Для наращенной величины ренты имеем:
37. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты пренумерандо (случай k = p).
Число членов ренты равно числу начислений процентов, платежи по R/k каждый.
38. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты постнумерандо (случай k = p).
39. Установите связь между приведенной и наращенной величинами p–срочной ренты с непрерывным начислением процентов.
Приведенная величина p–срочной ренты с непрерывным начислением процентов:
Наращенная величина p–срочной ренты с непрерывным начислением процентов:
Связь между приведенной и наращенной величинами p-срочной ренты с непрерывным начислением процентов имеет вид:
Отсюда получаем выражение для наращенной величины р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов
40. Установите связь между приведенной и наращенной величинами p–срочной ренты с k – кратным () начислением процентов.
Связь легко получается из формул приведенной и наращенной величинами p–срочной ренты с k – кратным () начислением процентов:
,
41. Установите связь между приведенной и наращенной величинами p–срочной ренты с k – кратным () начислением процентов.
S(p)=A(p)* (1+i/p)np
A(p) = S(p) * (1+i/p)-np
42. От каких параметров ренты зависит связь между приведенной и наращенной величинами ренты.
Коэффициент связи зависит только от кратности начисления процентов и не зависит от срочности ренты и любых других ее параметров. Таким образом,
При однократном начислении процентов
S= A* , A=S*
При k-кратном начислении ничислении процентов
S=A* (1+i/k)kn, A=S*(1+i/k)-kn
При непрерывном начислении процентов
S=A*eni, A=S*eni
43. Во сколько раз больше будет наращенная сумма в конце n–ого периода при ежепериодном (в конце периода) платеже R, чем при разовом платеже R в начальный момент времени?
Наращенная сумма в конце n-ого периода при платежах R в конце периода равна:
Наращенная сумма в конце n-ого периода при разовом платеже R в начальный момент времени равна:
Искомое отношение равно:
44. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения срочной ренты постнумерандо с непрерывным начислением процентов.
Ak(p)=, и переходя к пределу при k, получим из приведенной величины ренты
=*
Покажем, что связь между приведенной и наращенной величинами ренты с непрерывным начислением процентов имеет вид:
=
Отсюда получаем выражение для наращенной величины р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов
=
=
Следовательно,
45. Дайте определение непрерывной ренты и выведите формулы для ее коэффициентов приведения и наращения.
Непрерывная рента – рента, при которой рентные платежи производятся непрерывно (через малые промежутки времени).
Переходя к пределу при , получим непрерывный поток платежей с постоянной плотностью - непрерывную ренту
Найдем предел А(р) =* . Используя правило Лопиталя, вычислим предел
Используя его, получим выражение для приведенной величины непрерывной ренты
=*
Коэффициент приведения равен
Наращенная сумма непрерывной ренты
S=R*
46. Найдите приведенную величину и наращенную сумму непрерывной ренты с k–кратным начислением процентов.
Для приведенной величины:
A, k=
Применим правило Лапиталя и получим:
const
Для наращенной величины:
S, k=
Применим правило Лапиталя для нахождения предела
const
47. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо.
Домножим обе части уравнения на (1+i)n, тогда получим:
Следовательно
48. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты пренумерандо.
(1+i)
Домножим обе части уравнения на (1+i)n, тогда получим:
Следовательно
49. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо с ежеквартальным начислением процентов.
при k=4 получим:
Домножим обе части уравнения на (1+i/4)4n, тогда получим:
Следовательно
50. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты пренумерандо с ежемесячным начислением процентов.
при k=12 получим:
Домножим обе части уравнения на (1+i/12)12n, тогда получим:
Следовательно
51. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой p–срочной ренты постнумерандо с ежемесячным начислением процентов.
Приведенная величина
Наращенная величина
Так как % начисляются ежемесячно, то к=12
Найдем связь между Sp,12 и Ap,12. Домножим на (1+i/k)kn, получим
53. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов.
Приведенная непрерывная величина с непрерывным начислением %
Наращенная непрерывная величина с непрерывным начислением % , Домножим приведенную величину A на eni, получим
54. Во сколько раз увеличится приведенная величина ренты постнумерандо, если платежи производить в начале периода?
Приведенная величина ренты постнумерандо
Приведенная величина ренты пренумерандо
Приведенная величина ренты постнумерандо, при платежах в начале периода в раз.