- •Основы компьютерной арифметики и логики
- •Предисловие
- •Глава 4, подготовленная доцентом о.П. Шафеевой, посвящена вопросам разработки алгоритмических моделей выполнения арифметических операций и моделирования на пэвм спроектированных алгоритмов.
- •Основы двоичной компьютерной арифметики
- •1.1. Позиционные системы счисления
- •Десятичная позиционная система счисления
- •Двоичная позиционная система счисления
- •1.1.3. Восьмеричная позиционная система счисления
- •1.1.4. Шестнадцатеричная позиционная система счисления
- •Сложение Вычитание
- •Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •1.2.1. Перевод целых чисел
- •1.2.2. Перевод правильных дробей
- •1.2.3. Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую
- •1.2.4. Частный случай перевода чисел из одной системы счисления в другую
- •1.2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую с использованием промежуточной двоично-десятичной системы
- •1.3. Представление чисел с фиксированной запятой (точкой)
- •1.4. Представление чисел с плавающей запятой (точкой)
- •1.5. Коды двоичных чисел
- •1.5.1. Прямой код
- •1.5.2. Обратный код
- •1.5.3. Модифицированный обратный код
- •1.5.4. Дополнительный код
- •2.1.1. Алгебраическое сложение чисел в дополнительном коде
- •2.1.2. Алгебраическое сложение чисел в обратном коде
- •2.1.3. Переполнение разрядной сетки при сложении чисел
- •2.2. Сложение (вычитание) двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.2.1. Метод ускоренного сложения двоичных чисел с запоминанием переносов
- •2.3. Умножение двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.4. Машинные технологии выполнения операции умножения двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.5. Умножение двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.6. Методы ускоренного выполнения операции умножения двоичных чисел
- •2.6.1. Метод пропуска такта суммирования
- •2.6.2. Метод анализа сомножителей
- •2.6.3. Метод расшифровки и одновременного умножения на два разряда множителя
- •2.6.4. Метод ускоренного умножения Мак-Сорли
- •2.6.5. Метод ускоренного умножения Лемана
- •2.6.6. Метод умножения с расшифровкой пар разрядов множителя и запоминанием переносов
- •2.7. Деление двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.8. Деление двоичных чисел с плавающей запятой
- •3. Основы десятичной компьютерной арифметики
- •3.1. Машинное кодирование десятичных чисел
- •3.2. Выполнение арифметических операций с десятичными числами
- •3.2.1. Сложение десятичных чисел в эвм
- •3.2.2. Умножение десятичных чисел в эвм
- •3.2.3. Ускорение умножения в -кодах
- •Деление десятичных чисел в эвм
- •4.2. Моделирование алгоритма сложения двоичных чисел
- •Различные случаи ненормализованных мантисс
- •4.3. Проектирование алгоритма умножения чисел
- •4.5. Проектирование алгоритма деления чисел
- •4.7. Разработка алгоритма вычисления квадратного корня
- •Определение 1. Пусть и произвольные множества. Соответствием называется тройка множеств
- •Свойства отношений
- •Эквивалентность
- •Толерантность
- •Отношения порядка
- •Самодвойственные функции
- •Монотонные функции
- •Линейные функции
- •Функции, сохраняющие константу
- •5.2.7. Минимизация булевых функций
- •Метод Блейка
- •Метод Квайна-Мак-Класки
- •Минимизация с использованием карт Карно
- •Дана функция четырех переменных (рис. 5.13):
- •Минимизация не полностью определенных булевых функций
- •Минимизация систем булевых функций
- •5.3. Методика синтеза комбинационных схем на логических элементах
- •5.3.1. Логические элементы
- •5.3.2. Общий алгоритм построения комбинационных схем
- •5.3.3. Синтез кс в классическом базисе
- •5.3.4. Синтез кс в базисах «и-не», «или-не»
- •5.3.5. Реализация кс в базисе Жегалкина
- •5.3.6. Синтез составных кс
- •Заключение
- •Библиографический список к главам 1, 2, 3, 4
- •Библиографический список к главе 5
5.3.3. Синтез кс в классическом базисе
Пример 5.28. ПФ, заданная СДНФ, представлена на карте Карно (рис. 5.20). Требуется реализовать КС в классическом базисе.
х2
х1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
х3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x4
Рис. 5.20. Минимизация функции четырех переменных
По карте Карно (рис. 5.20) найдем минимальную форму
y = fmin=x1x2 x2x3x4 x1x3x4 x2.
По структуре формулы строим схему, при этом инверсии значений аргументов получаем с помощью элементов «НЕ», конъюнкции в термах посредством элементов «И» и, наконец, объединяем термы с помощью четырех- входового элемента «ИЛИ» (рис. 5.21).
Рис. 5.21
Данная схема имеет 3 уровня, каждый из которых вносит свой вклад в задержку: 1-й уровень – инверторы, 2-й – элементы «И», 3-й – элемент «ИЛИ».
Для оценки сложности схем часто используется критерий Квайна
, (5.28)
где li – число элементов i-го типа,
mi – число входов элемента i-го типа,
k – число типов логических элементов.
Таким образом, данный критерий определяется как суммарное число входов логических элементов.
Для схемы из последнего примера С = 17.
В рассмотренном примере использовалась только минимизация ПФ и производилось собственно построение схемы. Часто бывает полезно выполнить дополнительные преобразования, позволяющие снизить сложность схем. Рассмотрим следующий пример.
х2
х1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
x3
Рис. 5.22. Пример функции трех переменных
По карте Карно (рис. 5.22) определяем:
y = fmin = x1x2 ,
в соответствии с данным выражением строим схему (рис. 5.23а). Сложность схемы по критерию Квайна соответствует С = 10.
а) б)
Рис. 5.23. Пример дополнительного преобразования
Полученное выражение можно преобразовать, выполнив вынесения за скобки, например:
.
Для данного выражения КС приводится на рис. 5.23б.
Сложность данной схемы по критерию Квайна соответствует С = 9, т.е. меньше.
Очевидно, что для более сложных схем подобные преобразования могут привести к более значительным упрощениям. Однако в данном случае в схеме появляется дополнительный ранг, который будет вносить задержку в сигнал на выходе. Таким образом, упрощения схемы в данном случае производятся за счет снижения быстродействия.
В качестве дополнительных преобразований можно применить преобразования, основанные на правилах Де Моргана, которые в некоторых случаях позволяют исключить инверторы из схемы.
Пример 5.30. .
Непосредственная реализация исходного выражения требует трех логических элементов (два элемента «И» и один элемент «ИЛИ»). Преобразованное выражение может быть реализовано одним элементом «ИЛИ-НЕ».
Замечание. В некоторых случаях более эффективной (в смысле критерия Квайна) оказывается минимизация по нулям, рассмотренная в п. 5.2.6 (см. пример 5.24).