Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении бруса любого некруглого сечения его поперечные сечения искривляются (депланируют). Это обстоятельство значительно усложняет задачу определения напряжений и деформаций, так как не позволяет принять гипотезу плоских сечений. В то же время нет возможности ввести обоснованные допущения о характере распределения напряжений по сечению, как это удается сделать для тонкостенных брусьев замкнутого контура. Поэтому задачи кручения брусьев некруглых сечений могут бы решены только методами теории упругости. Интересно отметить, что принятие гипотезы плоских сечений для брусьев некруглого сечения привело бы к результатам, прямо противоположным действительным. Согласно этой гипотезе, точки наиболее удаленные от центра сечения, имеют наибольшие перемещения и, следовательно, в них должны действовать наибольшие напряжения. Например, в брусе прямоугольного сечения τ_max должны были бы возникнуть в угловых точках. Но легко показал, что на самом деле именно в этих точках касательные напряжения равны нулю. Действительно, если бы на площадке поперечного сечения в угловой точке действовало напряжение (рис. 7.14), то его можно было бы всегда разложить на составляющие, направленные вдоль сторон прямоугольника. Каждая из этих составляющих должна быть равна нулю, так как парные им напряжения на свободной от продольной касательной нагрузки боковой поверхности бруса равны нулю. Следовательно, и напряжение τ=0.

Рис. 7.14.

Рис. 7.15.

Решение задачи о кручении бруса прямоугольного сечения полученное в теории упругости Сен-Венаном, показывает, что касательные напряжения в контурных точках сечения возрастают от нулевых значений в углах к серединам сторон по некоторым кривым (рис. 7.15); в центре сечения напряжение равно нулю, а максимального значения напряжения достигают в серединах длинных сторон, причем

.

(7.27)

Наибольшее напряжение на короткой стороне прямоугольника

.

(7.28)

Угол закручивания определяется по формуле

,

(7.29)

где

, .

В этих формулах b - длина короткой стороны; h - длинной сторону прямоугольника; α, β, γ - числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h и b.

Значения этих коэффициентов приведены в таблице 7.1. Характер изменения касательных напряжений по различным направлениям внутри прямоугольного сечения показан на рис. 7.15.

14 Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала (рис. 7.2), левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол φ_к, называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол γ, называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до - γ_max на внешней поверхности. Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опыта вводятся следующие гипотезы:

1. Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).

2. Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.

3. Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

Рис. 7.2.

С учетом указанных гипотез геометрическая картина деформаций вала представлена на рис. 7.2. Рассмотрим, вырезанный из вала клиновидный элемент (см. рис. 7.2) длиной dx. Из рисунка видно, что

,

(7.2)

откуда следует, что угол сдвига изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Согласно закону Гука при сдвиге (3.34), имеем:

откуда получаем:

,

(7.3)

что касательные напряжения в сечении вала изменяются по радиусу по линейному закону.

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Для доказательства этого будем исходить от противного, то есть, предположим, что касательное напряжение не перпендикулярно радиусу. Это означает, что в каждой точке сечения, кроме касательных напряжений, перпендикулярных радиусам, действуют радиально направленные касательные напряжения. Но если это так, то по закону парности и на цилиндрической поверхности радиуса ρ или r будет действовать касательное напряжение, что неверно, так как на боковой поверхности нет напряжений.

Крутящий момент в сечении бруса определяется из уравнения (3.5):

или в более краткой записи

,

(7.4)

где ρ - плечо элементарной касательной силы τ

,

(7.5)

где - есть полярный момент инерции сечения. С учетом уравнения (7.3) можно определить касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вала, определяемой радиусом ρ:

,

(7.6)

а также максимальное касательное напряжение, действующее на контуре вала:

,

(7.7)

где W_p - полярный момент сопротивления.

Эпюра распределения касательных напряжений по радиусу показана на рисунке 7.4 для сплошного и полого валов.

Рис. 7.4.

Угол закручивания вала нетрудно определить на основе полученного выше уравнения:

,

из которого с учетом (7.6) имеем:

.

(7.8)

Угол закручивания всего бруса

.

(7.9)

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М_кр или различными выражениями I_p, то

.

(7.10)

В частном случае при М_кр(x)=const или I_p=const, то есть только для бруса постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами,

.