Потенциальная энергия деформации при кручении
Потенциальная энергия деформации при кручении определяется подобно тому, как это делалось при растяжении и сдвиге.
Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге определяется из уравнении (3.44):
|
|
(7.13) |
.Потенциальная энергия деформации U определится из уравнения (7.13) путем интегрирования по объему:
|
|
(7.14) |
.
При
этом учитывалось, что
.
В брусе постоянной жесткости GIp
при действии постоянного по длине
крутящего момента, имеем
|
|
.
17 Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
Брус считается тонкостенным, если толщина стенки существенно меньше его прочих линейных размеров.
Линия, делящая толщину сечения пополам, называется средней линией или контуром сечения. Часто тонкостенное сечение, называемое также профилем, изображается только его средней линии, а размеры сечения задаются по этой линии.
Средняя линия может быть замкнутой и незамкнутой. Соответственно этому профили делятся на замкнутые и открытые.
При кручении тонкостенного бруса его поперечные сечения депланируют. Если ничто не препятствует свободной депланации сечений, кручение называется чистым или свободным. В противном случае кручение называется стесненным. При стесненном кручении, в отличие от свободного, в поперечных сечениях кроме касательных напряжений возникают также и нормальные напряжения.
Рассмотрим случай свободного кручения тонкостенного бруса замкнутого контура (рис. 7.10), при котором поперечные сечения могут свободно депланировать, но не искажаться в своей плоскости, т. е. не изменяется форма сечения в плане. Последнее условие обеспечивается в тонкостенных конструкциях установкой достаточно, жестких в своей плоскости диафрагм (в крыле самолета – нервюр, в фюзеляже - шпангоутов).
В случае кручения замкнутых тонкостенных профилей обычно считают, что толщина стенки настолько мала, что касательные напряжения по толщине стенки можно принять одинаковыми и равными напряжениям посредине толщины стенки и направленными по касательной к срединной линии толщины стенки. Составляя сумму проекций всех сил, приложенных к элементу, вырезанному из профиля (рис. 7.11), на ось профиля x, получим
,
то есть произведение касательных напряжений на толщину стенки, или поток касательных напряжений вдоль контура сечения, постоянен
|
|
(7.16) |
.
Рис. 7.10.
Рис. 7.11.
Исходя из этого, можно связать величину напряжения, возникающего в сечении, с величиной крутящего момента относительно произвольной точки O, вызывающего эти напряжения (рис. 7.12):
|
|
(7.17) |
.Интегрируя по всему контуру и учитывая выражение (7.16), получим:
|
|
(7.18) |
,где ρds=2dω - удвоенная площадь элементарного сектора, заштрихованного на рис. 7.12, ω - площадь, охватываемая средней линией тонкостенного сечения.
На основании (7.18)получим следующую формулу для определения касательных напряжений при кручении тонкостенного замкнутого профиля:
|
|
(7.19) |
.Если толщина профиля по контуру будет переменной, то максимальное напряжение определяется по формуле:
|
|
(7.20) |
,где δmin - минимальная толщина стенки профиля.
Рис. 7.12
При определении угла закручивания тонкостенного бруса в пределах упругих деформаций будем исходить из рассмотрения потенциальной энергии деформации, накопленной в элементарном объеме тонкостенного стержня с размерами ds, dx, δ:
.
Для получения полной энергии деформации замкнутого однородного стержня длиной l необходимо последнее выражение проинтегрировать по длине стержня и по длине контура сечения s:
|
|
(7.21) |
.
Интеграл
зависит
от закона изменения толщины по дуге
контура и является геометрической
характеристикой сечения. На основании
(7.19) выражение потенциальной энергии
деформации может быть представлено в
виде:
|
|
(7.22) |
.С другой стороны, эта же энергия может быть выражена через работу внешнего скручивающего момента Мкр на искомом угловом перемещении j, то есть
.
Приравнивая правые части последних уравнений и решая полученное равенство относительно j, получим
|
|
(7.23) |
.Если толщина контура δ по дуге не меняется, то
|
|
(7.24) |
,где s - длина замкнутого контура.
Площадь, ограниченная средней линией сечения трубы (рис. 7.13),
Рис. 7.13.
;
.
По формулам (7.19) и (7.24) находим:
|
|
(7.25) |
|
|
(7.26) |
,
.