43Использование трендовых моделей для прогнозирования

Строится точечный и интервальный прогноз.

40.Методы исключения тенденции при моделировании взаимосвязей по временным рядам

Важной задачей в эконометрике является построение моделей регрессии по временным рядам. Для этого, прежде всего, необходимо выявить в каждом ряду тенденцию или сезонные колебания с помощью коэффициента автокорреляции. Если есть тенденция, то тенденцию необходимо исключить. Различают 3 метода исключения тенденции:

1. 38.Метод отклонения от тренда

- По каждому ряду стоится уравнение тренда

- На основе выбранных трендов определяются расчетные значения результативного признака

- по каждому ряду определяются ошибки или остатки

- по найденным отклонениям строим уравнение регрессии и находим коэффициент корреляции

(Параметр а=0)

Можно перейти к:

• - прогнозное значение у

• - прогноз у по тренду при t=p

• - прогнозное значение х

• - прогноз х исходя из уравнения тренда при t=p

39.Метод последовательных разностей

Если ряды содержат явно выраженную линейную тенденцию, то ее можно устранить путем замены исходных уровней первыми разностями.

Если ряды содержат явно выраженную параболу второго порядка, то используют вторые разности.

Если степенная или показательная функции, то метод последовательных разностей используются к логарифму (переходим к линейному виду)

Алгоритм:

- для каждого ряда определяются цепные абсолютные прироста или первые разности (скорости)

При увеличении прироста факторного признака на 1 единицу, прирост результативного признака меняется с ускорением равным b.

2. включение в модель регрессии по временным рядам фактора времени

• yp прогнозное значение уровня ряда yt

• yn конечный уровень динамического ряда yt ;

• xp и xn - то же по ряду xt

Преимущества: не теряем данные, и можно интерпретировать параметры.

Параметр b характеризует силу связи в условиях неизменной тенденции (при неизменном во времени абсолютном приросте)

Параметр с – это средний в единицу времени абсолютный прирост уровня за счет прочих факторов кроме фактора xt.

Можно построить нелинейную модель с фактором времени:

Модель с включением фактора времени не всегда будет эффективной в виду мультиколлинеарности факторов. Например, связь между xt и t может быть высокой из-за тенденции в ряду xt. Параметры будут ненадежными.

41.Автокорреляция в остатках

Рассмотрим уравнение регрессии вида

(3.1)

где k – число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты определяется из соотношения

(3.2)

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами имеющими различную природу:

1) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

2) модель может не включать фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

3) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

4) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины

(4.1)

Согласно (4.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

где

(4.2)

Сам алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина — Уотсона таков:

1) выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков;

2) альтернативные гипотезы состоят в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках;

3) затем по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина — Уотсона для заданного числа наблюдений, числа независимых переменных модели и уровня значимости;

4) по этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков.

Два из этих отрезков образуют зону неопределенности. Три других отрезка соответственно показывают, что нет оснований отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции, есть положительная автокорреляция, есть отрицательная автокорреляция. При попадании в зону неопределенности практически считают, что имеется автокорреляция остатков, и поэтому отклоняют гипотезу о ее отсутствии.

Вообще говоря, сами модели временных рядов уже выражают некоторую зависимость от времени, или динамику. Именно поэтому их еще и называютрядами динамики. Но в эконометрике особо выделяют класс динамических моделей. В него попадают модели, в которых в данный момент времени tучитываются значения входящих переменных, относящихся как к текущему, так и предыдущим моментам времени. Другими словами, она отражает динамику самих исследуемых переменных в каждый момент времени.

Все динамические эконометрические модели делятся на два главных типа. К моделям первого типа относят модели авторегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель.

Что касается моделей второго типа, то они учитывают динамическую информацию в неявном виде. В такие модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата либо одного из факторов в момент времени t. Сам этот уровень считается неизвестным и определяется экономическими единицами с учетом информации, которой они располагают в момент (t - 1).

При разработке экономической политики требуется знать, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики в течение будущих периодов? Или как может измениться объем ВВП, произведенного в период (t + 1), под воздействием увеличения денежной массы в период t?

Для решения подобных задач используют эконометрические модели, включающие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Такие модели и называются моделями с распределенным лагом. Более того, на величину зависимой (результативной) переменной текущего периода могут оказывать влияние не только лаговые значения факторных переменных. На нее могут влиять и ее собственные значения в прошлые моменты или периоды времени. Например, потребление в текущий момент времени t формируется под воздействием дохода текущего и предыдущего периодов, а также объема потребления прошлых периодов. Тогда используются модели регрессии, которые содержат в качестве факторов лаговые значения самой зависимой переменной. Они называются моделями авторегрессии.Между критерием Дарбина–Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 d 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости a. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1–a) рассматривается на рис. 4.1.

Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

33