- •33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
- •34. Абсолютная величина и её свойства.
- •1)Аналитический.
- •2) Графический.
- •3) Табличный .
- •36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
- •37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
- •38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
- •39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
- •43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
- •44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
- •45. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элементарных функций.
- •46. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные примеры эквивалентных бесконечно малых.
- •47.Сохранение знака непрерывности функции. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора (формулировка)
- •48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
Определение: Пределом функции в точке x0 называется такое число A, при котором для любого положительного ε найдется такое положительное δ, что для всех x не равных x0, удовлетворяющих неравенству |x-x0| < δ, выполняется неравенство |f(x)-A| < ε.
Геометрический смысл предела:
Если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки x0, что для всех x неравных x0 из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε-окрестности точки A.
Теорема о единственности предела:
Если предел существует, то он единственный.
Доказательство:
Пойдем от противного. Пусть существует =a и =b,
тогда
Поскольку ε – любое, то возьмем ε = |b-a|/4; и выберем δ = min{d1,d2}
Тогда
и
Отсюда: |b-a|=|b-f(x)+f(x)-a|=|f(x)-b|+|f(x)-a| < |b-a|/4 +|b-a|/4=|b-a|/2
|b-a|<|b-a|/2 , получили противоречие, если b неравно a, следовательно b=a
и – единственный.
Односторонние пределы:
Число A1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке x0, если для любого ε >0 существует число δ = δ(ε) >0 такое, что при x принадлежащему (x0- δ1;x0), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Предел слева записывают так: =А1
Аналогично определяется предел функции справа:
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Если существует =А, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А1=А2.
Справедливо и обратное: если существуют =А1 и =А2 и они равны, то существует предел =А.
Если А1A2 то предел =А не существует.
Бесконечно малые функции (БМФ)
Определение: Функция y=f(x) называется БМФ при x->x0,если =0
По определению предела:
для любого ε >0 существует такое δ > 0,что для любого x при котором истинно неравенство 0<|x-x0|< δ, следует: |f(x)|< ε
Аналогично определяется бмф при x->x0+0 , x->x0-0, x->+-∞
Во всех этих случаях f(x) ->0
Бесконечно малые функции обычно называют бесконечно малыми величинами, и обозначают греческими буквами α,β и т.д.
Основные теоремы:
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина БМФ.
2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть величина бесконечно малая.
3) Так как всякая бмф ограничена, то из Теоремы 2 следует: произведение двух бесконечно малых есть величина бм.
Следствие Т3: Произведение бмф на число есть бесконечно малая.
4)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бмф
5)Если функция α=f(x) – бм. (α не равно 0), то функция 1/a(x) – есть бесконечно большая функция и наоборот: Если f(x) – бесконечно большая, то 1/f(x) – есть бм.
Связь между пределои и бесконечно малой фйнкцией:
Т1) Если функция f(x) имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и бмф α(x), т.е. если =А, то f(x)=A+α(x).
Основные теоремы о пределах:
1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
Доказательство:
Пусть , . Тогда по теореме о связи предела с бм:
можно записать.
Следовательно, f(x)+ φ(x)= A+B+(α(x)+β(x))
Здесь в правой части бмф, как сумма бмф. Тогда по теореме о связи предела с бмф можно записать , т.е.
В случае разности доказательство аналогичное.
Следствие 1): Функция может иметь только один предел при x->x0.
Док-во: Пусть и . По Т1 имеем:
Отсюда А-B=0, т.е. A=B
3) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Доказательство аналогичное сумме пределов…
4) Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: