- •33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
- •34. Абсолютная величина и её свойства.
- •1)Аналитический.
- •2) Графический.
- •3) Табличный .
- •36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
- •37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
- •38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
- •39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
- •43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
- •44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
- •45. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элементарных функций.
- •46. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные примеры эквивалентных бесконечно малых.
- •47.Сохранение знака непрерывности функции. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора (формулировка)
- •48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
Теорема Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B.
Доказательство:
Для любого числа С, заключенного между A и B, найдется точка c внутри данного отрезка такая, что f(c ) =C. Прямая y=C пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(c)=0.
Доказательство:
Пусть существует множество {X}, ограниченное отрезком [a;b] причем а<b, f(a)<0, f(b)>0
Тогда возьмем на отрезке точку t, чтобы f(t)<0.
Отрезок [a;t] такой, что правый конец дает значение <0 (ограничено сверху) имеет Sup.
обозначим Sup = c;
1) Пусть f(c ) <0, тогда по теореме функция в некоторой окрестности сохраняет знак. => с<0 => c`<0 => f(c ) – не является гранью.
2) Пусть f(c ) >0 тогда по теореме c>0 и c`>0 => f(c ) Также не является гранью.
3) Остается только если f(c) = 0.
Теорема Вейерштрасса: 1) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то она ограничена на данном отрезке.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то она достигает на нем max и min значения.