§ 4. Простейший вариант метода разделения переменных

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения колебаний струны:

Будем искать решение в форме

u(x,t) = X(x)T(t). (34)

Подставляя (34) в (31) и разделяя переменные, получим соответст- венно

Поскольку это должно быть тождеством, то на самом деле его левая часть не зависит от t, а правая часть не зависит от x, их следует приравнять к некоторой константе так, что имеем

(35)

С другой стороны, подставляя (34) в (32), найдем

(36)

Если T(t)=0, то из (34) вытекает u(x,t)=0, а нам нужно искать нетриви- альные решения уравнения (31). Стало быть, T(t)0 и из (36) имеем гра -ничные условия для функции Х(х) в виде Х(0)=Х=0. Присоединяя эти граничные условия к дифференциальному уравнению для функции Х(х) , из соотношения (35) получим так называемую задачу ШтурмаЛиувил- ля

Подлежат нахождению функция Х(х) и параметр . Очевидно, что при любых задача имеет тривиальное решение Х(х)0, но есть еще и нетривиальные решения по крайней мере при некоторых .

Определение. Те значения параметра , при которых задача имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями.

С учетом названного определения говорят, что решить задачу Штур- маЛиувилля – значит найти ее собственные значения и соб- ственные функции.

Общее решение уравнения (37) как линейного уравнения с постоянны- ми коэффициентами запишется в виде

Добиваясь выполнения граничных условий (38), имеем

С₁  1 + С₂  0 = 0  С₁=0.

Если С₂=0, то придем к тривиальному решению Х(х)0, поэтому С₂0 и пусть для определенности С₂=1. Из второго граничного условия выте -кает, что sin=0 и, следовательно Соответствующие собст -венные функции примут вид

(39)

Теперь возвращаемся к равенству (35) и берем дифференциальное уравнение для функции Т(t) при :

Его общее решение будет иметь вид

где и– произвольные постоянные.

Согласно (34) произведения собственных функций (39) на соответству- ющие решения

будут решать задачу (3132) при любых и. Ввиду однородности уравнения и граничных условий сумма конечного числа этих произведе -ний также будет решением задачи (31-32).

Более того, ряд

(40)

если только он допускает двойное почленное дифференцирование по пе- ременным – x и t, также будет решением задачи (3132). Остается выбрать коэффициенты и такими, чтобы выполнялись начальные условия.

Подставляя (40) в (33), будем иметь

откуда по формулам для коэффициентов Фурье получим

(41)

Из второго граничного условия найдем, что

и, стало быть,

(42)

Мы получили, что сумма ряда (40) будет решением исходной задачи (31)(33) , если коэффициенты иопределены по формулам (41), (42). При определенных условиях на гладкость граничных функций и ряд (40) будет допускать двойное почленное дифференцирова-

ние (см. 1) , и его сумма будет классическим решением задачи (31) (33). В других ситуациях сумму ряда (40) называют обобщенным или формальным решением задачи (31)(33).

Изложенная схема решения смешанной задачи принципиально не ме-няется и при других однородных граничных условий. Считается целесо-образным запоминать метод решения, а не его детали, поэтому при реше- нии примеров с конкретными граничными функциями и вы-

полняются те же самые действия ( или аналогичные при измененных граничных условиях (32)) и в той же последовательности, что и при об- щих начальных условиях (33). Заметим, что такая традиция соблюдается в целом при решении дифференциальных уравнений.

144.Однородная струна, жестко закрепленная в концевых точках x=0 и , имеет в начальный момент времени t=0 форму

Определить смещение u(x,t) точек струны от прямолинейного положе- ния равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.