32. Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье).

Теорема Дирихле: пусть функция f(t) периодическая с периодом T=2π, если:

1.эта функция на любом отрезке, равном периоду, непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода.

2.эта функция на любом отрезке длиной, равной периоду, имеет конечное число экстремумов.

Тогда ряд Фурье, составленный для этой функции сходится в функции f(t) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва t₀ ряд Фурье сходится к числу , .

31. Ряды Фурье для функции с периодом 2π. Коэффициенты Фурье.

Пусть периодическая функция f(t) с периодом T=2π разлагается в ряд:

.

Ряд в правой части имеет сумму и эта сумма равна f(t).

Теорема: если периодическая функция f(t) с периодом T=2π разлагается в ряд (1), то коэффициенты этого ряда находятся по формулам:

.

.

.

Коэффициенты, найденные по этим формулам для функции f(t), называются коэффициентами Фурье.

Ряд вида (1), в котором коэффициенты являются коэффициентами Фурье, называется рядом Фурье.

Не всякий тригонометрический ряд является рядом Фурье.

30. Система ортогональных функций. Основная тригонометрическая система.

Две функции f(t) и ϕ(t) называются ортогональными на интервале a,b, если интеграл от их произведения по интервалу a,b равен нулю.

.

Система функций f₁(t), f₂(t), f₃(t),…,f_k(t) называется ортогональной на интервале a,b если любые две функции из этой системы взаимно ортогональны, т.е. .

.

Утверждение 1: система функций 1, cost, sint, cos2t, sin2t, cos3t, sin3t,…, cosnt, sinnt,… является ортогональной на интервале 0,2π.

Утверждение 2: система функций 1, coswt, sinwt, cos2wt, sin2wt,…,cosnwt, sinnwt,… является ортогональной на .

29. Периодические функции и их свойства.

Функция f(t) называется периодической с периодом T>0, если при любых значениях Т из области определения функции f(t+T)=f(t).

Свойства периодических функций:

1.Если Т – период, то nТ тоже период.

2.Если f(t) имеет период Т, то функция f(at) имеет период .

3.Сумма, разность, произведение, частное функции с периодом Т являются периодическими с тем же периодом.

4.Интеграл от периодический функции по отрезку длиной, равному периоду, не зависит от того, где на числовой прямой расположен этот отрезок.

.

28. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Если требуется найти частное решение ДУ, начальные условия для которого заданы в точке х₀, то считают, что решение этого уравнения представляет собой ряд Тейлора в точке х₀, т.е.

.

Из ДУ методом последовательного дифференцирования находим значение производных в точке х₀. Подставляя их в ряд Тейлора получаем приближенное решение ДУ.

27. Разложение в степенные ряды функций .

,

.

.

26. Биномиальный ряд.

.

.

X=0 f(0)=1

.

.

.

.

.

25. Разложение в степенной ряд функций ln|1+x|, ln|1-x|.

.

24.Разложение в степенной ряд функций sinx, cosx.

f(x)=sinx

f(0)=sin0=0

.

.

.

.

.

Полученный ряд является абсолютно сходящимся при всех значениях х.

Продифференцируем полученный ряд по х:

.

23.Разложение в степенной ряд функции e^x.

f(x)=e^x; f(0)=1

.

.

.

.

22. Ряды Тейлора и Маклорена.

.

Пусть х=х₀

f(x₀)=a₀

.

Пусть х=х₀

.

.

Пусть х=х₀

.

.

.

- ряд Тейлора для функции f(x) в точке х₀.

Для одной и той же функции можно составить сколько угодно рядов Тейлора за счет изменения х₀. Если х₀=0, то:

- ряд Маклорена.

Ряд Тейлора называют разложением функций по степеням (х-х₀), а ряд Маклорена – разложением функции в ряд по степеням х.

21. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

(1)

При х₀=0 (2)

Всегда можно перейти от вида (1) к виду (2).

Теорема Абеля:

1.если в точке х₀ степенной ряд сходится, то этот ряд сходится и при всех значениях х таких, что |x|>|x₀|;

2.если в точке х₁ степенной ряд расходится, то этот ряд расходится для всех |x|>|x₁|.

Областью сходимости степенного ряда является промежуток на числовой оси.

Число R>0 называется радиусом сходимости степенного ряда, если для всех |x|<R степенной ряд абсолютно сходится, а для всех |x|>R ряд расходится.

Радиус сходимости может быть найден с помощью радикального признака Коши и признака Даламбера. Тогда формула для отыскания R имеет вид:

.

.

Некоторые свойства степенных рядов:

1.Сумма сходящегося степенного ряда является непрерывной функцией в области сходимости.

2.сходящийм=ся степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему в области сходимости, при этом сумма полученного ряда равна интегралу от первоначального ряда, а область сходимости будет та же самая.

3.степенные ряды можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости, при этом полученный ряд будет сходиться на том же интервале.

20. Функциональные ряды. Сходимость в точке и на интервале. Область сходимости.

Ряд называется функциональным, если членами ряда являются функции .

Функциональный ряд сходится в точке х₀, если соответствующий числовой ряд, полученный заменой х на х₀, сходится.

Множество значений х, в которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Рассмотрим ряд . Данный ряд можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем х. Известно, что геометрическая прогрессия имеет сумму, т.е. сходится, если |x|<1. Поэтому областью сходимости этого ряда будет (-1;1).