19. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Ряд называется знакочередующимся, если два любых соседних члена ряда имеют противоположные знаки.
Теорема Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда):
Если члены з.ч.р. монотонно убывают по абсолютной величине и общий ряд стремится к нулю при n→∞, то з.ч.р. сходится.
Доказательство:
.
.
.
Найдем
сумму четного числа слагаемых
.
Последовательность
возрастающая.
.
.
Так
как
возрастающая и ограничена сверху числом
а1, то по теореме Вейштрасса существует
конечный предел этой последовательности
и мы доказали, что последовательность
четных частичных сумм ряда (1) сходится.
Теперь покажем, что сходится и
последовательность нечетных частичных
сумм.
.
.
Замечание 1. Монотонное убывание членов ряда по модулю является существенным условием сходимости.
Замечание2. При доказательстве теоремы мы получили, что S2n→S возрастая, а S2n+1→S убывая. Значит S2n<S<S2n+1.
Замечание 3. Сумма з.ч.р. меньше, чем а1.
Замечание 4. Если сумму з.ч.р. мы заменяем суммой первых n членов ряда, то при этом совершаем ошибку, модуль которой не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда.