- •Терминология Математический анализ
- •1. Множества, операции над ними
- •2.Числовые множества, их границы.
- •3. Операции над символами бесконечности
- •4. Понятие функции
- •5. Частные классы отображений
- •6.Класс основных элементарных функций.
- •7. Суперпозиция (композиция отображений)
- •8. Системы окрестностей
- •9. Предел последовательности (определение Коши)
- •14. Классификация точек разрыва
- •15. Замечательные пределы.
- •16. Второй замечательный предел и его свойства.
- •18. Главная часть б.М.
- •19. Сравнение б.М.
- •20. Сравнение б.Б.
- •21. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- •22. Таблица эквивалентных б.М.
- •23. Понятие производной.
- •24. Физический, геометрический и экономический смысл производной.
- •25. Таблица производных.
- •26. Производная сложных функций.
- •31. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •33. Формула Тейлора.
- •37. Условия постоянства функции.
- •38. Достаточные условия экстремума.
- •39. Выпуклость графика функции.
- •40. Асимптоты графикафункции.
- •41. Общая схема исследования функции
- •I этап – асимптотическое исследование фун-и
- •II этап – исследование фун-и на монотонность.
- •42. Формулы
5. Частные классы отображений
Класс1. Числовая функция одного числового аргумента, X R, Y R: y=f(x).
Например: y=x2, y=, y= sinx
Класс2. Если x = (x1, x2, …xn), то y = f(x1, x2,xn) - числовая функция векторного аргумента (или числовая функция многих скалярных переменных), X Rn, Y R.
Например: y = x+ sin (x1 + x2 ).
Класс3. XR, yRn – f : XRYRn. – вектор-функция одной переменной, ставящая в соответствие каждому вещественному числу x из X вектор у = f(x) из Rn, т.е. каждая координата вектора f(x) есть скалярная функция скалярного аргумента х:
f (x) = [f1 (x), f2 (x), …, fn(x)]T
Класс4. XRn, YRm – вектор-функция векторного аргумента.
Полагая, что х = (1 , 2, …, n ), у = (1, 2 ,…m ), получим:
Координатные функции – функции f1,f2,,,,fn в классах 3 и 4.
График функции f(x) - множество точек (x, f(x)).
В случае скалярной функции одного скалярного аргумента графиком функции f (x) является некоторая кривая.
В случае скалярной функции двух скалярных аргументов графиком f(x) является некоторая поверхность.
Монотонно возрастающей/убывающей функцией на множестве X называется функция f, если для любых двух точек х1 и х1 из Х, удовлетворяющих неравенству х1< х2, выполняется неравенство f(x1) f(x2) и называется строго монотонно возрастающей, если из условия
х1< х2 следует f(x1) < f(x2).
Ограниченной называется функция f если множество ее значений Y={f(x), xX} ограничено.
Функция f(x) называется четной, если выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси у.
Например: f(x) = х2, f(x) =х4, f(x) = cos(x)
Функция f(x) называется нечетной, если выполняется равенство f(-x) = -f(x). График нечетной функции проходит относительно начала координат.
Например: f(x) =x3, f(x) = sin(x)
Функция называется общей, если неизвестно: четная она или нечетная.
Функция называется периодической, в которой f(x+T)=f(x), где T – период.
Например: cos (x + 2) = cosx,
cos (wx) = cos (wx+2) = cosw(x +2/w)
Обратная функция – функция, противоположная данной.
Отображение функции – через заданные параметры х находим значения у.
6.Класс основных элементарных функций.
Степенная функция х, где R
Показательная функция ax, а>0,a1.
Логарифмическая функция logax,a>0, a1.
Тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx.
Обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Часто используются функции
- гиперболический синус
- гиперболический косинус
7. Суперпозиция (композиция отображений)
Пусть и YY1. Отображение f: XRnZRk называется суперпозицией (композицией) отображений и Ф и обозначается f=Ф, если для любого х из Х имеет место соотношение f(x) = (Ф)х = (Ф(х)).
Переменная у=Ф(х) называют промежуточной переменной или промежуточным аргументом.
8. Системы окрестностей
Окрестностью точки х0 из R называется любой интервал (a,b), содержащий эту точку.
Частные виды окрестностей:
Симметричная U(x0) точки х0 радиусом >0,
Проколотая окрестность – окрестность U(x0), из которой удалена точка х0, U(x0)={xR, a<x<b, xx0)};
Симметричная проколотая окрестность: U(x0)={xR, 0<|x-x0|<}.
Окрестностью бесконечно удаленной точки в R (U ()) называется внешность некоторого отрезка, т.е. множество точек, не принадлежащих этому отрезку.
Симметричной окрестностью точки называется внешность симметричного относительно нуля отрезка.
Окрестностью бесконечно удаленной точки в Rn (U ()) называется внешность шара с центром в начале координат либо внешность n – мерного куба, симметричного относительно начала координат.
Предельная точка (точка сгущения) – точка М0, множества Х, если в любой ее окрестности есть хотя бы одна отличная от М0 точка множества Х.
Внутренняя точка множества Х – точка М0Х, входящая в множество Х вместе с некоторой окрестностью.
Граничная точка М0 множества Х – такая точка, в окрестности которой есть точки как принадлежащие Х, так и не принадлежащие ему.