9. Предел последовательности (определение Коши)

Пределом последовательности X_n называют число А, если для любого сколько угодно малого е >0 существует N (е) такой, начиная с которого (n>N) выполняется неравенство |x_n-А|< е

Предел векторной последовательности {y_n} – вектор (точка) А (принадлежащая пространству R_n), при которой для любой окрестности U существует окрестность V такая, что для всех n, (принадлежащих окрестности V) последовательность y_n принадлежит (U).

Теорема1. Для того, чтобы последовательность

точек (векторов) пространства R_k сходилась к точке (вектору) А=(А₁, А₂, …А_k),  чтобы каждая координатная последовательность сходилась и при этом().

Теорема2. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху (снизу) числовая последовательность имеет предел.

Теорема3. Если даны три числовых последовательности un,vn,bn, удовлетворяющие условию u_n b_n  v_n и , то и

lim w_n=A.

10.Определение предела функции на языке последовательностей (определение Гейне).

Говорят, что точка А – предел функции f(x)

, если для всякой последовательности точек {x_n} (x_nx₀) из области определения функции, сходящейся к х₀, последовательность {f(x_n)} значений функции имеет пределом точку А.

11. Теоремы о пределах.

1. Если предел существует, то он единственный, если пределов больше 1, то предела не существует.

2. Если существует предел Xn=a, то ограничена в окрестности точки а. (обратное нет!)

3. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

4. Пусть , , тогда А – предел суммы:

Предел вычисляется, если y_n0, предел =0, а y_n0.

12. Раскрытие неопределенности.

Чтобы решить пример с данной неопределенностью, необходимо максимально упростить выражение, сократить какие-либо переменные, и подставить число из предела.

Чтобы решить пример с этой неопределенностью, мы упрощаем выражение и затем подставляем вместо неизвестной переменной. По определенным формулам ищем значение.

13. Непрерывность функций.

Непрерывной называется функция f(x) в точке x₀, если предел f(x)=f(x₀) при хх₀.

lim f(x)=f(x₀)lim f(x)=lim f(x)=f(x₀)

xx₀ xx₀

lim (x₀-0)=lim f(x) - предел слева

lim (x₀+0)=lim f(x) – предел справа.

Непрерывной является такая функция, у которой предел слева = пределу справа.

Теорема1. Для того, чтобы функция была непрерывной в точке х₀  чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

Теорема2. Если функции f и t непрерывны в точке х₀, то и функции f+t, f*t, f/t (t(x₀)0) тоже будут непрерывны в этой точке.

Теорема3. Для того, чтобы функция y = f(x) была непрерывна в точке х₀,  чтобы все ее координатные функции были непрерывны в х₀.

Теорема4. Пусть функция f непрерывна в точке x₀ и t непрерывна в точке y₀. Тогда их суперпозиция (сложная функция) ft=f(t) также непрерывна в точке х₀.

Теорема5. Все элементарные функции вещественного переменного непрерывны в области определения.

Теорема6. Пусть скалярная функция f скалярного переменного задана на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B, AB. Если функция f непрерывна на [a,b], то для любого С, лежащего между А и В, существует точка с [a,b] такая, что f(c)=C.

Теорема7. Если функция y=f(x) непрерывна в замкнутой области Х и в некоторых точках, принадлежащих этой области, принимает определенные значения, неравные между собой, то для любого числа С, заключенного между этими значениями, существует точка х₂ такая, что f(x₂)=C.

Теорема 8 (I теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном в R_n множестве Х функция y=f(x) ограничена на этом множестве.

Теорема9 (II теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве в R_n функция f(x) принимает в нем наибольшее и наименьшее значения.

Степенная функция – функция вида f(x) = x^, R

Показательная функция – функция вида f(x) = a^x, а1, а>0. а – const, x – переменная.

Степенно-показательная функция – функция вида f(x)=u(x)^v(x).

Точка разрыва функции f(x) - точка х₀ в которой нарушается непрерывность, а поэтому в этой точке нарушается одно из равенств.