-
Реттеу аксиомалары
жиынының
элементтерінің
арасында
қатынасы бар, яғни
жиынының
кез-
келген
элементтері үшін
немесе
қатынастарының
бірі орындалады. Әрі
мына шарттар орындалған:
10-аксиома.
.
11-аксиома.
.
12-аксиома.
.
13-аксиома.
.
жиынындағы
бұл қатынас (
)
– теңсіздік қатынасы деп аталады.
Элементтері 10,11,12-аксиомаларды
қанағаттандыратын жиын жартылай
реттелген
жиын деп, ал сонымен бірге 13-аксиоманы
қанағаттандырса, онда ол
сызықты
реттелген жиын деп аталады. Сонымен
нақты сандар жиыны теңсіздік қатынасы
арқылы сызықты реттелген жиын екен.
5.
-дегі
қосу мен реттеу байланысы
14-аксиома.
жиынының
кез-келген
элементтері үшін
.
6.
-дегі
көбейту мен реттеу байланысы
15-аксиома.
жиынының
кез-келген
элементтері үшін
.
7. Толықтық (үзіліссіздік) аксиомасы
16-аксиома.
Егер
жиынының
бос емес
және
жиындарының кез-келген
және
элементтері
теңсіздігін қанағаттандырса, онда
теңсіздіктерін қанағаттандыратын
жиынынан
элементі табылады.
8. Архимед аксиомасы
17-аксиома.
бір
ғана 
9. Жоғ. ж-е төм. шек-лар туралы аксиомалар
18-аксиома. Шектелген сандық жиынның жоғ шек-дан құралған жиынның ең кіші эл-ті болады. Төм-гі шек-дан құралған жиынның ең үлкен эл-ті болады.
Супремум ж-е инфимум
Сан түз-н қар-қ:
А
жиыны жоғ шектелген, себебі 
,
c-жоғ
шек
Жоғ шек-лар өте көп сол жоғ шек-дың ең кішісі sup(супремум) д.а.
Ан.1
М=supA,
егер
1.
2. 
>d
Ан.1’
M=supA,
егер
1.
2. 
>M*
Жиын
төм шек болады егер 
төм
шекара
Төм шек-а өте көп. Солардың ішіндегі ең үлкені inf(супремум). Inf-дәл төм шек
Ан.2
m=infA, егер 1.
m,
m-төм
шек
2.
Ан.2’
m=infA,
егер
1.
m,
2.
<m+
Тұжырым:
сандық
жиынның бір ғана супремум ж-е инфимум
бар. Супр ж-е инф сол жиында жатуы мүмкін.
Суп ж-е инф ақырлы сан да, шексіздікте
болуы мүмкін. Егер жиын жоғ шек-месе
оның бірде-бір шек-сы жоқ. Sup=+
.
Егер жиын төм щек-месе оның бірде-бір
төм-гі шек-сы жоқ Inf=-
3.Нақты сандар жиынының толықтығымен байл негізгі қағидалар
Ан:
сегменттері берілген яғни [
]
[
],...,
[
],...
1.
[
]
[
]
[
],...
әрбір сегмент өзінің алдындағы сегменттің
ішкі жиыны
2.
=0,
([
]-сег-ң
ұз-ғы 0-ге тең)
Осы екі шартты қанағаттандыратын сегменттер тізбегі енгізілген сегменттер д.а
Коши-Кантор принципі: енгіз-н сег-р берілген
1.
барлық сегменттерге қатысты жалғыз с
нүк-сі бар
2.
=c
Д-уі:
1.
Жалғыз
ғана нүкте екенін көрсету үшін, кері
жоримыз: c ж-е d екі нүнте бар дейміз
,
0<
<
осыдан
шекке көшсек: 
>
Ан.
Бойынша 
=a
демек
c
ж-е d
2 нүкте бар дегеніміз дұрыс емес, яғни
с=d
2.
=sup{
}
(2
жағд 
)
0<c-
<
(осыдан
шекке көшсек)
0<
)<
=0
)=0
=0
шексіз
тізбек 
<
=0,
=c
Лебег-Берель принципі (ақырлы бүркеу)
Ан:
Х
жиын-ның S={X}
жүйесі Y
жиынын бүркейді д.а, егер Y
болса,
яғни егер Y
ж-ң 
эл-ті
S
жүй-нің
ең болмағанда бір Х жиынында жатса.
Лебег-Берель
принципі: Кесіндіні
бүркейтін 
интнрвалдар жүй-де осы кесінді бүркейтін
ақырлы ішкі жүйе бар.
Д-уі:
Айталық
[
]=
кесінді берілсін. Ал S={
}
оны бүркейтін 
интервалдар жүй-сі болсын. Кері жоримыз:
кесіндісін S жүй-нің саны ақырлы
интервалдармен бүркеу мүмкін емес. Онда
кес-сін тең 2-ге бөліп оның бір жартысын
деп белгілейміз оны да саны ақырлы
интег-мен бүркеу мүмкін емес. 
кес-де тең 2-ге бөлеміз, оның бір жартысын
деп белгілейміз. Осылай жалғастыра
береміз, сонымен S жүй-нің интег-мен
ақырлы бүркеу мүмкін болмайтын 
...
енг-н кес-р тізбегі п.б. Ал өзіміздің
жасауымыз бойынша n-ші қадамда алынған
кес-нің ұз-ғы 
=
болғ-тан 
енг-ген кес-лер тізб-де ұз жеткілікті
аз кесінділер бар. Демек Коши-Кантор
принц. Бойынша барлық 
кес-лерге
ортақ С нүктесі бар. Ал с
]
болғ
S
жүй-нің
с нүктесі бар 
(
)=
инт-л
табылады. 
болсын.
Онда 
ұз-ғы
<
болатын
ал
с
ж-е
-
болғ-тан. 
.
Бірақ,
бұл 
кес-сін
жүйенің ақырлы инт-мен бүркеуге болмайды
дегенге қайшы.