4.Тізбектер ж-е оның шегі. Қасиеттері.

Ан: Сандық тізбек деп-натурал сандар жиынында анықталған ф-сын айтамыз. Оны{ -деп белгілейміз.

Тізгектің берілу жолдары:

1. Формула арқылы:

= n=1.2…

n=1.2…

2. Рекурентті формула арқылы:

Ан: , жоғарыдан шектелген д.а.

Ан: , төменнен шектелген д.а

Ан: Егер тізбек төменнен де жоғ-дан да шектелсе, оны шектелген тізбек д.а.

Ан: (“” тілінде) Егер санына сәйкес үшін < болса, онда а саны{ тізбегінің шегі д.а. =a, a

Ан: Маңай() тілінде. Егер а нүк-нің маңайына сәйкес номері табылып, барлық үшін { тізбегінің мүшелері маңайында жатса, онда а санын сандық тізбегінің шегі д.а Немесе: =a: . Осы екі анықтама эквивалентті.

Ан: нақты сан болатын шегі бар тізбекті жинақты тізбек д.а.

Ан: Егер болса { - шексіз аз тізбек д.а.

Ан: онда { шексіз үлкен тізбек д.а

Қасиеттері:

Теорема: егер тізбек жинақты болса, онда ол оның тек жалғыз ғана шегі бар.

Д-уі: Кері жорып жинақты тізбектің екі шегі бар делік: : =, :

Егер болса, онда

Шек анықтамасынан =

A n>

Бұл екі қатынастан n>max() болғанда шығады. Демек . Сонда

3. Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану ж-е шекке көшу.

Егер =a=b болса онда,

1. 

2. 

3. 

Д-уі: a) =a ж-е =b болғандықтан

Енді n>max () десек, онда + яғни

Енді айырманың шегін қарастырайық:

=a: болғ-тан үшін де <=ca

Егер с=-1 десек, онда lim(-1)y=lim(-

Сонда ==a-b

b) {} тізб-гі жинақты болғандықтан орындалады. Қажет болса мұны үлкейтіп болатындай аламыз.

- осыны ескере отырып N max() үшін кез-келген n>N номерінен бастап =

С) Ең алдымен = екенін дәләлдейік:

Шек анықтамасы бойынша үшін номері табылып кез-келген n>n1 үшін болады=>

n>n1 номерінен бастап = яғни,

N=max(n1,n2) =

= Ендеше

3. Монотонды тізбектер. Бернулли теңсіздігі ж-е е саны

Анықтама . Егер натурал сандары үшін

(1)

теңсіздігі орындалса онда – кемімейтін (өспейтін) тізбек деп аталады. Егер (1) қатыс қатаң тізбектер арқылы: орындалса онда -өспелі (кемімелі) тізбек деп аталады.

Егер тізбегі үшін осы төрт жағдайдың тек бірі ғана орындалса, онда оны монотонды тізбек дейді.

Кемімейтін (өсетін) тізбектер әрдайым төменнен санымен, өспейтін (кемитін) тізбектер әрдайым жоғарыдан санымен шенелген.

Мысалдар:

-өспейтін тізбек, ол жоғарыдан санымен шенелген;

2) -өспелі тізбек, төменнен санымен шенелген.

Келесі теорема анализде жиі қолданылады

Теорема. Егер кемімейтін (өспейтін) тізбек және жоғарыдан М санымен (төменнен т санымен) шенелсе, онда

орындалатындай а саны табылады. Мысалы.

теңдігін дәлелдеу керек

болсын деп алсақ, онда нөмерлері үшін немесе , орындалатынын көреміз. Яғни тізбегі нөмірлері үшін кемімелі. Сонымен бірге тізбегі төменнен 0 санымен шенелмеген. Сондықтан жоғарыдағы теоремадан

Аламыз және

шығады. Олай болса кез-келген үшін (3) теңдік дұрыс. Егер a<0, болса, онда да

шығады.

7. Ішкі тізбек. Больцано-Вейерштрасс теор. Фундаментальды тізбек. Коши критерийі.

тізбегі а нақты санға жинақталатын болсын:

Бұл дегеніміз берілсе нөмірлері үшін теңсіздігі орындалатындай саны бар деген сөз.

Онда натурал сандары үшін

Теңсіздігі орындалады. Сонымен, егер айнымалдың ақырлы шегі бар болса, онда ол үшін келесі Коши шарты орындалады: кез-келген берілсе нөмірлері үшін теңсіздігі дұрыс болатындай саны табылады.

Коши шартын қанағаттандыратын сандар тізбегін фундаментальды (іргелі) тізбек немесе Коши тізбегі деп атайды.

Коши шартына кері тұжырым да орындалады:

Егер нақты сандар тізбегі коши шартын қанағаттандырса, онда тізбегінің ақырлы шегі бар.

Бұл екі тұжырымды келесі теорема арқылы беруге болады.

Теорема (шектің бар болуының Коши критерийі). нақты сандар тізбегінің ақырлы шегі болу үшін, оның іргелі тізбек болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема. Кез-келген нақты сандар тізбегінен ақырлы немесе ақырсыз сандарының біріне жинақталатын іштізбек бөліп алуға болады.

Теорема (Больцано –Вейерштрасс). Кез-келген шенелген тізбегінен қандайда да бір нақты санға жинақталатын іштізбек бөліп алуға болады.

Анықтама. тізбегінің жоғарғы шегі (төменгі шегі) деп келесі екі шарт орындалатындай М санын айтады (М- нақты немесе ақырсыз сандары болуы мүмкін):

1. теңдігі орындалатындай іштізбегі табылады;

2. , іштізбектері үшін

()

теңсіздігі орындалады.

8. Функцияның шегі. Коши, Гейне анықтамалары. Біржақты шектер. Функция шегінің бар болуының Коши критерийі. R нақты сандар жиынының Е ішкі жиынында анықталған f функциясы берілсін: f: E R a нүктесі Е жиынының шектік нүктесі болсын.

Анықтама: (Коши анықтамасы) в саны х а ұмтылғанда f функциясының шегі деп аталады, егер кез келген Ę >0 Ǝ ϛ (Ę) 0<ǀx-aǀ<0 ϛ (Ę) (1) шартын қанағат-н кез келген хϵЕ үшін ǀf(x)-bǀ< Ę (2) теңсіздігі орындалса, яғни lim f(x)=b.

Анықтама: (Гейне анықтамасы) lim f(x)=b

1. f: E R

2. x_n a f(x_n)=b

3. x_n ≠ a

егер а санына жинақталған кез келген { x_n }ϵ E (x_n≠a) тізбегіне сәйкес функция мәндерінің {f(x_n)} тізбегі в санына жинақталса, онда в саны х а f(x) функциясының шегі деп аталады.

Біржақты шектер. Фунуция шегінің анықтамасына а нүктесі Е жиынының шектік нүктесі болсын дегеннен басқа шарт жоқ. Шек анықтамасына қосымша х>a немесе х<a шарттарынан енгізсек онда сәйкес оң жақты немесе сол жақты деп аталатын біржақты шек анықталатын енгізуге болады.

Оң жақты шек үшін:

b=lim f(x)=f(a+0)

сол жақ шек үшін:

b=lim f(x)=f(a-0)

Дәлелдеуі: lim f(x)=в; кез келген Ę >0 Ǝ ϛ(Ę)>0 кез келген хϵЕ 0<ǀx-aǀ< ϛ => ǀf(x)-bǀ< Ę осы Коши анықтамасымен салыстырып х а f(x) функциясының оң жақ та, сол жақ та шегі бар болатынын көреміз.

Функция шегінің бар болуының Коши критерийі. теорема: f(E R функциясының х

а нақты мәнді шегі бар болуы үшін кез келген Е>0 0<ǀx-aǀ< ϛ шарттарын қанағат-н кез келген х, х ϵ Е нүктелер үшін ǀf(x)-f(x^’)ǀ< Ę теңсіздігі орындалатын ϛ(E) санының табылуы қажетті және жеткілікті.

9. Тамаша шектер. Функцияларды салыстыру. lim sinx/x=1 бірінші тамаша шек.

Дәлелдеуі: егер 0<ǀxǀ<π/2 болса онда соsx<0<sinx/x<1 (1).

(1) – ді дәлелдейік. Дәлелдеу үшін радиусы R=1 шеңбер сызамыз:

S_∆ОВА<S_{сектор ОВА}<S_∆ОCA(*)

S_∆ОВА=1/2*OB*OAsinx=1/2sinx

S_{∆секторОВА}=πR²/360*x=1/2x

S_∆ОCA=1/2 AC*OA=1/2 AC=1/2tgx (tgx=CA/OA=CA) Сонымен (*) – дан ½ sinx< ½ x½ tgx;

Cosx/sinx<1/x<1/sinx*sinx;

Cosx<sinx/x<1 яғни (1) дәлелденді.

Екінші тамаша шек. Lim (1+1/x )^x=e (3)

Дәлелдеу үшін Гейне анықтамасын қолданамыз:

Lim (1+1/n)ⁿ=e (3^’) екені тізбектер теориясынан белгілі. Бүтін оң сандардан құралған кез келген өспелі {n_k} үшін де lim (1+1/n_k)^nk=e (4) орындалатын дәлелдейік. Шынында да (3^’)=> кез келген Ę>0 Ǝn Ę ϵ N кез келген n>n Ę үшін ǀ(1+1/n)ⁿ-eǀ< Ę ал n_k +∞ болғандықтан барлық k>n Ę. (4) дәлелденді.

Қорытынды: lim(1+f(x))^1/f(x) =e.

Функцияларды салыстыру.

Анықтама.1: f(x)=o (g(x)), егер ƎƔ(a), Ǝφ(x)

1. lim φ(x)=0

2. f(x)= φ(x)*g(x)

тұжырым: егер Ǝlim f(x)/g(x)=0=> f(x)=ȍg(x)

Анықтама.2: f(x)=0(g(x)) егер ƎƔ(a) Ǝk>0

1. ǀf(x)ǀ≤k*g(x)

2. Анықтама.3: f(x) ~ g(x) егер: 1. limφ(x)=1; 2. f(x)= φ(x)*g(x)