43.Математический маятник
(см. Л.№17.И.6)
Система (И.6) и
состоящая из нерастяжимой нити длиной
,подвешенная
в точке О. С сосредоточенной массой
и находящаяся в поле силы тяжести
называется математическим маятником
.Мы считаем эту массу материальной
точкой.
Найти закон движения
м.т. на И.6 если ей сообщена либо начальная
скорость, либо угол отклонения ,либо
начальный импульс.
В основе решения
любой задачи лежит закон природы. В
данном случае это второй закон Ньютона
записанный для вращательного движения
(1)
;
(2)
(3) Сила натяжения нити не создает момента
т.к.
.
(4)
Проецируем ур-е (1)
(5) ;
(6)
Подставляя (6) в (5)
получаем:
(7)
Ур-е (7) называется дифференц. Ур-ем движения математического маятника Это не линейное ур-е.
Для решения (7) мы
рассмотрим случай малых колебаний,
именно он и реализуется в часах.
(8).
(9)
Ф.(9) называется рядом Тейлора
;
;
;
При выполнении (8)
ряд Тейлора можно оборвать на первом
не нулевом члене.
(10)
С учетом (10) получаем
(11)
Ур-е (11) называется линейным диф. Ур-ем движения математического маятника
;
(12);
(13);
Мы показали, что
этот параметр введенный по формуле (13)
имеет размерность квадрат частоты. С
учетом (12) и (13) и (11) приобретает следующий
вид:
(14)
Это линейное дифференциальное ур-е движения математического маятника
ОЗМ:
Ур-е (14) решается
стандартными методами ОДУ.
-задано (15)
В
теории ОДУ ур-е (14) совместно с (15) которое
записывается в след. Виде:
-(16) называется задачей Коши и имеет
единственное решение.
Решением
ур-я называется такая ф-ия
,
которая будучи подставлена в ур-е
(14)представляет его в верное тождество
Мы покажем , что
(17);
-(18)
является решением.
;
;
;
(19) Подставляем
(19) и (17) в левую часть ур-я (14).
Мы видим, что искомое решение ур-я (14) представляет собой гармоническую ф-ию времени и периодическую.
По этой причине говорят, что система изобр.на (И.6) совершает колебания, т.е.периодические движения вокруг одной точки, которая является положением равновесия.
Величина
А в законе движения (17) называется
амплитудой колебаний
круговая
частота,
начальная фаза.
Мы показали, что
(20);
из и.6 видно, что
(21); (21) в (20), получим
(22);
(23);
(24);
;
(25);
Ф.(25)
дает период колебаний математического
маятника. Мы вывели ее исходя из ур-я
(14) и решения (17). Отметим, что Т независит
от массы, а определяется только длиной
нити и ускорением
.
44.Физический маятник.
(см. И.1)
Система изображенная на и.1, состоящая из произвольного т.т., имеющего одну точку закрепления О, несовпадающей с центром масс С, и находящегося в поле силы тяжести называется физическим маятником.
Ур-е движения физ
маятника
(15);
(16);
Ур-е (16) называется дифферен.ур-ем движения физ. Маятника для общего случая.
(17)
тогда (16) переписывается в виде:
(18);
(19) (малый угол отклонения) (20) очевидно, что решение будет иметь вид (6).Следовательно физ.маятник в предположении (19) совершает гармонические колебания по закону (6) с круговой частотой (17).
(21).
Согласно (21) период физ.маятника зависит
от массы и от распределения массы по
телу
.
Преобразуем формулу (17) что бы она была
похожа на (11)
.
(22)
(эффективное)=
(23)-приведенная
длина математ. Физич. Маятника.
В этом случае справедлива ф-ла (22), как и для математического маятника.