- •2.Физические величины
- •3.Система физических величин
- •5.Скорость мт.
- •7.1 Закон Ньютона.
- •8. 2 Закон Ньютона.
- •9. 3 Закон Ньютона
- •10.Система мт (смт).
- •11. Силы и моменты сил действующие на смт
- •14.Теорема о движении центра масс смт
- •16.Закон сохранения импульса.
- •17.Закон сохр. Момента импульса.
- •18.Закон сохранения энергии.
- •19.Закон сохранения энергии в общем случае криволинейного движения м.Т.
- •20.Потенциальные силы.
- •43.Математический маятник
- •44.Физический маятник.
- •51.Cто. Преобразования Лоренса для координат ивремени.
- •52.Сто. Следствие из преобразований Лоренца. Пространственные промежутки.
- •53.Сто. Следствие из преобразований Лоренца. Временные промежутки. Эксперимент по распаду μ-мезона.
- •54.Сто. Интервал и собственное время.
53.Сто. Следствие из преобразований Лоренца. Временные промежутки. Эксперимент по распаду μ-мезона.
Пусть в некоторой точке x’ в системе K’ происходит некоторый физический процесс, в течение промежутка времени Dt0=t2’+t2’ (6) здесь t1’-начало процесса, t2’-его окончание. Для времен t1 и t2 в системе К, отвечающих t1’ и t2’ мы получим t2=(t2’+Vx’/c2)/ , t1=(t1’+Vx’/c2)/ (7). Вычитая получим промежуток времени Dt Dt0/ (8).
▼ Формула (8) является главной в этом вопросе.
▼ Время Dt0 измеренное в системе отсчета, движущееся вместе с телом, в котором происходит процесс, называется собственным временем. Видим из формулы (8), что собственное время Dt0<Dt-время прошедшее между этими событиями в системе К. (рисунок эксперимента). Скорость V (μ-мезона) c (<c). Время жизни μ-мезона Dt0=2*10-6с, DxН=VDt0 cDt0=600м, Dxp=20 км. Однако на земле μ-мезоны регестрируются. Dt0 Dxp/c=(20 км)/c 7*10-5сек 35Dt0
54.Сто. Интервал и собственное время.
Пусть в точке пространства с координатами x, y, z в момент времени t происходит некоторое физическое явление (событие). Пусть в другой точке x1, y1, z1 в момент времени t, происходит другое событие, тогда по определению интервалом между двумя событиями называется величина равная : S= (9). Преобразуем (9), чтобы узнать чему оно равно в системе К’, пользуясь формулами (II). c2(t1-t)2=1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2}, (x1-x)2=(x1’-x’)2+V2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’), (y1-y)2=(y1’-y’)2, (z1-z)2=(z1’-z’)2, c2(t1-t)2-(x1-x)2=1/(1-V2/c2){ c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2-(x1’-x’)2-V2(t1’-t’)-2V(x1’-x’)(t1’-t’)}=1/(1-V2/c2){ (t1’-t’)2(c2-V2)+ (x1’-x’)2(1-V2/c2)}= 1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2(1-V2/c2)-(x1’-x’)2(1-V2/c2)}=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2, S2=c2(t1-t)2-(x1-x)2-(y1-y)2-(z1-z)2=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2-(y1’-y’)2-(z1’-z’)2=S’2 (10). S=S’=invar (11).
▼ Мы показали, что интервал между двумя событиями является инвариантным. Мы рассматриваем бесконечно малые расстояния и интервалы между двумя событиями dx=(x1-x), dt=(t1-t), dS= (12). Пусть дана инерциальная система отсчета К’, в некоторой точке x’, y’, z’ происходит два события во время dt0-измеряется часами, покоящимися в К’. Время dt0 есть собственное время, прошедшее между двумя событиями. Найдем интервал между двумя событиями. dS= =cdt0, dt0= (13)-связь интервала и времени. Подставим в (13) dS из формулы (12) : dt0=
=( ) (14)
dt . dt0=dt (15)-связывает собственное время dt0 с временем dt в К’.
55.СТО. 4-х мерная формулировка-преобразование Лоренца и вращение в плоскости x, τ.
Математическое отступление. Формулы преобразования координат вектора при повороте в системе (здесь рисунок). Получим связь ax=>f1(ax;ay), ay=> f2(ax;ay), +ay y (1), +ay’ y’ (2)
ax= x = x(ax’ x’+ay’ y’)=ax’( x x’)+ay’( x y) ax’cosj+ay’cos( +j), ax=ax’cosj-ay’sinj(3)
aα=Rαβaβ’ (4), Rαβ= (5), a’x ax’ aα= , a’α= , ax=Rxxa’x+Rxya’y. Конец матем. отступления.
Введем формально четвертую координату. τ=ict (6). Будем считать, что формулы преобразования типа (3) и (4) справедливы и для координатной плоскости τx(здесь рисунок).
tgj=i(V/c) (7). Формулы преобразования (3) и (4) в точности совпадают с преобразованиями Лоренца (II).
cosj=1/ =1/ (8), sinj=cosjtgj, sinj=(iV/c)/ (9), (8) и (9) подставим в (3) : x=(x’-τ’iV/c)/ =(1/ )(x’-ict’iV/c)=(x’+Vt’)/ (I). Проверим вторую формулу τ=(x’iV/c+τ’)/ , ict=(x’iV/c+ict’)/ . t=(t’+x’V/c2)/ . Таким образом поварот системы координатной плоскости xτ на угол j, дает для x, y, z и t формулу Лоренца.
56.СТО. 4-х радиус вектор, 4-х векторы скорости и ускорения.
По определению четырехрадиусом-вектором называется величина rα=(x, y, z, τ) (10). Мы показали что формула преобразования является следующими формулами : rα=γαβr’β (11). γαβ=(Здесь формула из тетради) (12). Применим (11) к α=1→r1=x, r1=γ11r1’+γ12r2’+γ13r3’+γ14r4’=x’/ +0+0+(-iV/c)(ict’)/
Обобщим определение четырехрадиуса-вектора на произвольный трех-вектор.
▼ По определению четырехрадиусом-вектором называется совокупность величин aα=(ax, ay, az, aτ), которые при преобразовании Лоренца (вращение в плоскости xτ на угол j) преобразуется как четырехрадиус-вектор по формуле (11). aα=γαβaβ’ (13) суммирование по индексу β от одного до четырех.
Кинематика СТО. dt0 лоренц-скаляр (инвариант), мы это показали. dt0-как масса в обычном мире.
▼ Четырехвектором-скорости называется следующим четырехвектором : uα= (14), dt0=dt (15), β=V/c (16), dt0=dt (17).
ux=dx/(dt )=dx/dt/ = / (18), uy= y/ , uz= z/ } (19). uτ=ic/ (20).
=uαuα=-c2, uαuα=1/ ( + + -c2)=
Тривиальная формула преобразования скорости при вращении uα=γαβuβ’ (21)
▼ Четырех-вектор ускорения по определению равен : (22), он четырех-вектор по построению. Формула преобразования Лоренца для ускорения : γαβvβ’ (23). Компоненты ускорения. vx= = =
= ; a=vx , b= ; b’=
=-
vx= + (24) ; =uαuα=-c2=const ; 2ux =0
uαvα=0 (25) четырех-векторы скорости и ускорения арктагенальны (сколярное произведение=0)
57-58.СТО. Ковариантная формулировка основного закона динамики материальной точки. Сила Минковского.
Инерционные свойства частиц описываются массой покоя этой частицы (m0).четырех-вектор импульса.
▼ По определению pα=m0uα (26). Естественным релетивистским обобщением II закона Ньютона является следующее уравнение : =Fα (27), Fα-некоторый четырех-вектор.
▼ Fα-называется силой Минковского. Запишем в координатах = = =Fx.
=Fx (28) ; v<<c. Мы потребуем, чтобы в правой части (28) стояла обычная сила F, тогда: ▼ Компоненты четырех-вектора силы : =Fx (29), = (30)-обыкновенные силы Ньютона.
=Fτ uαvα=0, uα (m0 uα), воспользуемся (27) : uαFα=0 (31).
+ + + =0; =- ; =(i/c) (32); = (33)
Тогда уравнение (27) четырех-вектора компоненты приобретают следующий вид : = = ; = (34)
▼ Справа в (34) стоит мощность, следовательно, слева изменение энергии.
▼ Таким образом мы определяем полную энергию частицы. E= (35) ; = (36)
Проанализируем. Формула для трех-координат системы четырех-вектора (трехмерная формула для четырех-вектора) : = ; m(v) (37) ; m(v)= (38) ; = ; pα=(px, py, pz, i, E/c) (39).
E= = +… ; E= (40) для покоящегося тела. T=E-E0 [m(0)-m0]c2
E= ; = => = (41).
▼ (41) дает связь импульса частицы с энергией покоящейся частицы.