Определение характеристик при выборочном накоплении с детерминированным периодом обнуления

Согласно описанию процедур управления LMI, на первом уровне осуществляется обнаружение ошибки и формируется бинарный результат (1 в случае обнаружения ошибки, 0 – в альтернативном случае). На втором уровне накапливаются бинарные результаты и проверяется принадлежность накопленной суммы задаваемой области допустимых значений. Значение решающие функции второго уровня при выборочном накоплении и детерминированном периоде обнуления определяется следующим образом:

(1)

где = 0, 1, 2, … – дискретные моменты времени;

– очередной принятый кадр о целостности соединения;

– значение решающей функции второго уровня в дискретный момент времени.

Условие представляет ситуацию, когда происходит прием кадра LMI, информирующего о целостности виртуального соединения, с неправильным порядковым номером (не соответствующим порядковому номеру последнего переданного кадра) или прием кадра LMI с ошибкой в его поле проверочной последовательности.

Условие означает то, что сообщение «Запрос состояния» не принято по истечении временного интервала тайм-аута. Этот интервал имеет международное обозначение и должен быть больше, чем интервал опроса с целью подтверждения целостности соединения.

Результирующие решения обновляются в моменты времени N393, 2N393, …, iN393, … после сравнения решающей функции второго уровня с порогом N392, где и – целая часть отношения .

При обозначении момента времени обновления решения о целостности соединения и порога второго уровня используются обозначения, определенные стандартом ANSI T1.617 Annex A – N392 и N393. Но возможны и другие обозначения этих параметров – nN2 и nN3, если воспользоваться рекомендациями FRF. При R_II(j = iN393) ≥ N392 фиксируется факт обнаружения дефекта. В противном случае отмечается факт отсутствия дефекта и значение решающей функции второго уровня обнуляется

После этого продолжается отслеживание описанных событий на первом и втором уровнях.

В преобразовании (1) и в подобных преобразованиях, присущих второму уровню, для ясности восприятия не выделяются зависимости решающих функций от других аргументов.

В рассмотренном варианте системы принятия решения размер выборки результатов анализа значений решающей функции первого уровня при накоплении сохраняется неизменным, равным N393.

Построение моделей для определения средних времен до принятия решений начнем с определения вероятности ложного обнаружения. Вероятность ложного обнаружения представляет собой вероятность того, что для N393 отправленных кадров некорректных (или отсутствующих) ответов окажется не менее N392. Следовательно, вероятность ложного обнаружения выражается через функцию биномиального распределения

, (2)

где – вероятность приема некорректного кадра или его отсутствие по истечении временного интервала тайм-аута при отсутствии дефектов;

– вероятность наступления не более (N392-1) успехов среди N393 испытаний, когда каждый успех может происходить с вероятностью .

Очевидно, что специалисты телекоммуникационных технологий интересуются, прежде всего, областью малых значений . В связи с этим необходимо остановиться на асимптотическом анализе.

Согласно [2] при для определения вероятности можно воспользоваться следующей формулой:

, (3)

^где .

Тогда выражение (2) приводится к виду:

. ⁽⁴⁾

Для определения тенденций влияния существенных параметров решающей процедуры N392 и N393 на вероятность ложного обнаружения в области малых ее значений целесообразно проанализировать зависимость ln(P_L) от . При учете (4) и пренебрежении коэффициентами при экспоненте получается следующее приближение:

(5)

Для характеристики продолжительности интервала времени до ложного обнаружения руководствуются средним числом шагов до указанного события. При независимых событиях среднее число шагов до первого ложного обнаружения нарушения целостности соединения выражается следующим образом:

, (6)

, (7)

где – вероятность ложного обнаружения в очередном цикле накопления. Сопоставление (2) и (7) показывает, что , то есть .

Зависимости lg( ) от отношения при =const приведены на рис.1. Из их анализа следует, что увеличение отношения приводит к возрастанию длительности интервала времени до первого объявления ложной тревоги. Уменьшение вероятности вызывает увеличение . При использовании приближенных формул для построения зависимостей lg( )=f( ) погрешность оценивания не превышает 14%. Значения lg( ) при =0.1 практически совпадают со значениями lg( ) при одноуровневой системе принятия решений.

Теперь перейдем к формированию процедуры определения среднего числа шагов запаздывания в обнаружении нарушения целостности соединения .

Рис. 1. Зависимость lg( ) от

При появлении дефекта в произвольный момент времени i на текущем цикле накопления отслеживаются случайные величины с разными плотностями распределения _l(Frame), l=1,2, а на последующих циклах все значения решающей функции первого уровня описываются плотностью распределения ₂(Frame). В связи с этим в выражении для выделяются две группы случайных значений времени запаздывания, взвешенные с соответствующими вероятностями. В первую группу включаются случайные значения, принадлежащие текущему циклу накопления, в котором появился дефект, а во вторую группу случайные значения, относящиеся к последующим циклам накопления. С учетом отмеченного обстоятельства среднее число шагов запаздывания при равномерном распределении момента времени появления дефекта в пределах цикла накопления находится по формуле

, (5)

, (6)

, (7)

где – вероятность того, что N_z = N393-i в случае, когда дефект обнаруживается в том цикле накопления, в котором он появился;

– вероятность обнаружения нарушения целостности соединения в текущем цикле накопления, которому принадлежит момент времени его появления;

– вероятность обнаружения нарушения целостности соединения в любом очередном цикле накопления, отличном от текущего цикла;

– вероятность получения некорректного кадра или неполучения соответствующего кадра по истечении временного интервала тайм-аута при наличии дефекта.

После сборки слагаемых получается более компактная запись выражения (5):

. (8)

Далее перейдем к определению вероятностей , i=1, 2, ..., N393-1.

К обнаружению нарушения целостности соединения в текущем цикле накопления, к которому относится момент времени его появления, приводит событие получения некорректного кадра или неполучение соответствующего кадра по истечении временного интервала тайм-аута при l=1,2. В подобных условиях ложные тревоги на уровне анализа решающей функции первого уровня способствуют ускорению в обнаружении. По мере увеличения i уменьшается значение (n-i) и сокращается число отсчетов, имеющих плотность распределения ₂(Frame) в текущем цикле накопления. В этом случае снижается максимально возможное число событий получения некорректного кадра или неполучения соответствующего кадра по истечении временного интервала тайм-аута при l=2, что неизбежно приводит к появлению ограничения на минимально возможное число ложных тревог, ведущих к принятию правильного решения. В связи с этим при определении вероятностей , i=1, 2, ..., N393-1 выделяются две группы событий.

Характерным признаком первой группы событий, происходящих при i[1,N393-N392+1], является отсутствие вышеназванного ограничения, а второй группы – его присутствие. События, относящиеся ко второй группе, наблюдаются при i[N393-N392+2,N393]. При этом минимально возможное число ложных тревог равняется (N392-N393+i-1).

Если до момента времени i на текущем цикле накопления происходит j ложных тревог на первом уровне, то успешное обнаружение нарушения целостности соединения гарантируется при реализации не менее (N392-j) событий получения некорректного кадра или неполучения соответствующего кадра по истечении временного интервала тайм-аута. В данном случае символ j не касается дискретного времени анализа и используется для обозначения промежуточной переменной. В результате перебора возможных значений i для каждой группы событий формируются следующие выражения для :

, (9)

при i[1,N393-N392+1], если ,

или

при i[1,N392], если .

(10)

,

при i[ N392+1,N393-N392+1], если .

, (11)

при i[N393-N392+2,N392], если .

(12)

при i[N392+1,N393], если ,

или

при i[N393-N392+2,N393], если .

При этом предполагается равномерное распределение момента времени появления дефекта в пределах цикла накопления и учитывается выражение для бинома Ньютона

Таким образом, соотношения (6) – (12) образуют основу аналитической модели для определения среднего числа шагов запаздывания в обнаружении нарушения целостности соединения.

С учетом бинома Ньютона внутренние суммы в выражениях (9) – (12) могут представляться в виде

. (13)

При для вычисления значений можно воспользоваться асимптотической формулой:

, (14)

.

Когда , то

.

(15)

При .

При малых значениях , получается следующее приближение

, (16)

где . (17)

При

. (18)

При

. (19)

Из анализа выражения (19) следует, что при с уменьшением отношения функция экспоненциально приближается к нулю. Согласно (16) .

Если , то вступает в силу выражение (18), указывающее на экспоненциальное приближение функции к единице по мере роста отношения . Это приводит к увеличению .

На рис. 2 представлены зависимости lg =f( ) при =const, которые построены на основе приближения (16) и соотношения (17). Анализ этих зависимостей показывает, что по мере увеличения значения отношения наблюдается рост среднего числа шагов запаздывания, а при увеличении уровня вероятности – спад .

Полученные выражения для , , P_L позволяют построить характеристики обнаружения, представляемые зависимостями =f(P_L) или =f( ) при =const. При этом предоставляется возможность воспользоваться как точными, так и приближенными соотношениями.

Рис. 2. Зависимость lg( ) от ( )

Приближенные соотношения справедливы лишь для определенных выше условий, часто встречающихся в практике.

С целью определения характера влияния отношения на характеристики обнаружения =f(P_L) воспользуемся выражениями (5), (16) и (17):

, (20)

На рис. 3 приведены характеристики обнаружения, построенные на основе соотношений (4), (5), (16), (17). Из рис. 3 видно, что увеличение отношения вызывает возрастание среднего числа шагов запаздывания в обнаружении нарушения целостности соединения. Указанная особенность согласуется с выше приведенными рассуждениями относительно характера влияния на характеристики обнаружения.

Рис. 3. Характеристики обнаружения

Выведенная система аналитических соотношений позволяет определить средние времена до принятия решений о нарушении целостности соединений и выявляет их зависимость от параметров, используемых для синхронизации процедур управления LMI, при выборочном накоплении результатов анализа процессов прохождения контрольных кадров в случае детерминированного периода обнуления решающей функции второго уровня.