26. Закончите определение «Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если ...». Приведите примеры вполне упорядоченного множества и множества, не являющегося таковым.

Упорядоченное множество (А, ≤) называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество обладает наименьшим (минимальным, первым) элементом, т.е. предшествующим всем другим элементам этого множества.

Соответствующий порядок на множестве называют полным порядком.

Пример 2. Всякое конечное упорядоченное множество вполне упорядочено (очевидно).

Пример 3. Отрезок [0; 1] с отношением порядка ≤ – не вполне упорядоченное множество (например, его подмножество – интервал (0; 1) – не имеет наименьшего элемента).

27. Закончите определение «Множество а называется равномощным множеству в, если ...». Приведите примеры равномощных и неравномощных множеств.

Множество А называется равномощным (или эквивалентным) множеству В, если существует биекция А на В.

Пустое множество считается равномощным только себе.

Если множества А и В равномощны, то говорят, что они имеют ону и ту же мощность и пишут |А| = |В|.

28. Закончите определение «Множество а называется счетным, если ...». Приведите примеры счетных и несчетных множеств.

Утверждение 1. Множество А счетное тогда и только тогда, когда существует биекция

f: N А, n ↦ а_n.

Утверждение 2. Множество А счетное тогда и только тогда, когда каждому его элементу можно присвоить номер n, причем любое натуральное число n является номером некоторого элемента множества А.

Утверждение 3. Множество А счетное тогда и только тогда, когда его можно записать в виде А = {а₁, а₂, … , а_n, … } (элементы а_i не повторяются).

Кратко можно сказать, что счетные множества – это бесконечные множества, элементы которых можно пронумеровать натуральными числами, или, по-другому, которые можно представить в виде бесконечных последовательностей, члены которых не могут повторяться.

Пример 1. Множества N и 2 N (четных чисел), очевидно, счетные. Нетрудно понять, что множество нечетных чисел также счетное.

Пример 2. Множества элементов непостоянных бесконечных арифметической и геометрической прогрессий – счетные. (Их можно пронумеровать натуральными

числами.)

29. Закончите определение «Говорят, что множество А имеет мощность континуума, если ...». Приведите примеры множеств мощности континуума и не являющихся таковыми.

Говорят, что множество А имеет мощность континуума, если оно равномощно интервалу (0; 1).

Пример 1. Любой интервал (а; в) имеет мощность континуума.

В самом деле, существует биекция f: (0; 1) (а; в), f(x) = a + х (в – а).

Пример 2. Любой отрезок [а; в], любой полуинтервал – [а; в) или (а; в] – имеет мощность континуума. Соответствующие биекции существуют, но не являются такими простыми, как в предыдущем случае (они являются разрывными функциями).

30. Что такое булеан множества а, и что Вы знаете о его мощности?

Булеанам множества А называется совакупность всех его подмножеств, включая пустое множество и само множество А.

Теорема 1. Мощность непустого множества А меньше мощности множества всех его подмножеств 2^А (кратко: |А| <| 2^А|).

Доказательство этой теоремы можно найти практически в любом курсе теории множеств.

Если А – континуум, то говорят, что 2^А – множество мощности гиперконтинуума (или, просто, гиперконтинуум).

Например, множество всех подмножеств числовой прямой R есть гиперконтинуум.

Итак, существует бесконечное множество разных мощностей, причем не существует множества самой большой мощности (поскольку для любого множества можно указать множество большей мощности 2^А).