Непрерывные случайные величины.

Если случайная величина X непрерывны, то ее возможные значения сплошь заполняют некоторый интервал . Возможные значения данной случайной величины мы перечислить не можем. Закон распределения непрерывной случайной величины мы можем записать в виде функции распределения.

Интегральная функция распределения – функция .

Свойства интегральной функции распределения:

1. ;

2. функция неубывающая (если , то .

Доказательство:

Следствие: вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (a;b), равна:

Замечание: в формуле роли не играет, стоит ли строгое или нестрогое неравенство.

3.вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна 0.

4. из возможных значений непрерывной случайной величины, принадлежащей числовой оси:

Доказательство:

Плотность распределения (дифференциальная функция распределения) непрерывной случайной величины.

Пусть F(x) – интегральная функция распределения случайной величины X, возможные значения которой равны интервалу (a;b). Рассмотрим промежуток

Принадлежащий данному интервалу. Вероятность того, что X примет значение из интервала равна

Рассмотрим отношение данной вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины участка при .

Плотность распределения непрерывной случайной величины – производная от интегральной функции.

График функции f(x) – кривая распределения , откуда получаем формулу:

Найдем выражение интегральной функции через дифференциальную функцию.

и мы получим .

Свойства дифференциальной функции распределения:

1.

2.

10.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Рассмотрим случайную величину X. Возможные значения X сплошь заполняют отрезок [a;b]. Отрезок произвольным образом разобьем на n элементарных отрезков

, где . И найдем вероятность попадания случайной величины на каждый из отрезков.

Вместо X рассмотрим дискретную случайную величину , которая имеет следующий ряд распределения:

Математическое ожидание данной случайной величины:

, а если число разбиений отрезков , то , а

Если же непрерывная случайная величина принимает значения со всей числовой оси, то

Точно также как и для дискретной случайной величины, для непрерывной случайной величины дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения от математического ожиданий.

или

Однако на практике чаще всего пользуются свойством , и тогда дисперсия вычисляется по формулам:

11.

Биномиальный закон распределения.

Пусть X – случайная величина, число появлений события A в серии из n испытаний. Если вероятности появления случайной величины определяется по формуле Бернулли, то закон распределения биномиальный. Этот закон называется биномиальным, потому что вероятности появления совпадают со слагаемыми бинома Ньютона .

Числовые характеристики биномиального закона распределения.

а) Математическое ожидание

Доказательство:

Случайная величина , где - число появлений события A в i-ом испытании.

Найдем дисперсию:

Таким образом, мы получили основные числовые характеристики:

Равномерное распределение

В некоторых задачах в практике встречаются случайные величины все значения, которых:

a) принадлежат промежутку [a; b]

б) возможные значения одинаково вероятны

О таких случайных величинах говорят, что они имеют равномерное распределение.

Пример:

Шкала измерительного прибора проградуирована. Ошибка, которая будет допускаться при округлении: [0; 05]

Для непрерывной случайной величины:

1) Функция плотности f(x) имеет вид:

Найдем значения параметра b из условий нормировки.

Тогда:

- дифференциальная функция распределения

3) Интегральная функция распределения

Рассмотрим по промежуткам:

а)

б)

в)

3) Математическое ожидание

Аналогично получаем:

4) Вероятность попадания в заданный интервал:

Показательное распределение

1) Дифференциальная функция плотности показательного распределения имеет вид:

График этой функции представлен на рисунке.

2)

3)

4)

Вывод: действительно

12.