- •Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятростей.
- •Статистическая вероятность
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •Дискретные случайные величины.
- •Дискретные случайные величины.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •Биномиальный закон распределения.
- •Нормальный закон распределения
- •Двумерные случайные величины.Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей.Одномерные законы распределения.
- •Дискретные случайные величины.
- •Интегральная функция распределения двумерной случайной величины.
- •Вероятность попадания случайной величины в квадрат бесконечных полусумм прямоугольников.
- •Зависимые и независимые случайные величины.
- •Основные понятия математичесКой статистиКи
- •Доверительные интервалы. Доверительная вероятность.
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном .
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .
- •Статистические гипотезы. Проверка гипотез. Критерий Пирсона.
- •Элементы корреляционного анализа.
- •Линейное програмирование Задачи линейного программирования лесной промышленности.
- •Нормальная кононическая форма задач линейного программирования
- •Геометрический метод решения задач линейного программирования.
- •Симплекс метод
- •Первый этап: построение первоначального базисного плана.
- •Второй этап: проверка (критерий) оптимальности.
- •Третий этап: указание процедуры целенаправленного перехода к следующей крайней точке.
- •Симплекс таблица
- •Метод искусственного базиса в м задачах
- •Транспортная задача.
- •Основные понятия теории массового обслуживания Потоки событий
- •Пуассоновский и простейший потоки. Потоки Пальма и Эрвина.
- •Предельная теорема теории потоков
- •Сложение, разряжение и независимость потоков
- •Марковские процессы
- •Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния
- •Эргодические Марковские случайные процессы. Стационарный режим работы системы.
Элементы корреляционного анализа.
Во многих задачах приходится установить зависимость между двумя или несколькими случайными величинами. Эта зависимость может быть функциональной или статистической.
Функциональная зависимость – зависимость, при которой одному значению X ставится строго соответственное значение Y.
Статистическая зависимость – зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение и другой случайной величины.
Для определения статистической зависимости данные записывают в виде таблицы.
означает что .
означает, что наблюдалось раз
означает, что наблюдалось раз
Фактически первый и последний столбцы представляют собой ряд распределения
для составляющей X, а первая и последняя строки – ряд распределения для составляющей Y. По корреляционной таблице строят условную среднюю.
Условное среднее - среднее арифметическое значение случайной величины Y, когда X приняло значение x.
Таким образом, мы можем составить ряд условных распределений.
Совершенно аналогично мы можем составить условное распределение .
Корреляционная зависимость Y от X – зависимость условной средней
Корреляционная зависимость X от Y – зависимость условной средней
Уравнение - уравнение регрессии Y на X, а f(x) – регрессия Y на X.
Уравнение - уравнение регрессии X на Y, а – регрессия X на Y.
В теории корреляции рассматриваются две основные задачи:
1.установить вид корреляционной зависимости;
2.определить саму функциональную зависимость и ее тесноту.
Линейная корреляционная зависимость, если корреляционные зависимости и линейные функции.
Пусть у нас задано распределение условной средней . На плоскости наносим. По расположению точек мы определяем вид функциональной зависимости. Для простоты будем считать, что функциональная зависимость носит линейный характер, т.е
. Тогда в каждой из точек мы находим отклонение . Суммируем эти отклонения. Поскольку отклонения бывают разных знаков, то они будут друг друга уничтожать. Для учета отклонений мы будем брать их в квадрате.
. Параметры a и b мы будем выбирать из условия минимума суммы квадратов отклонений, т.е. по методу МНК. Для чего мы должны решить задачу на экстремум:
Дифференцировав функцию и приравняв к 0, мы получили следующую систему для определения параметров a и b.
Или преобразовав данную систему, мы можем записать:
Решая данную систему, мы получим:
-угловой коэффициент прямой регрессии Y на X/
И тогда уравнение линейной регрессии имеет вид:
Совершенно аналогично получается
Из уравнений и мы видим, что и имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком выражения.
Рассмотрим сейчас коэффициент корреляции, который был введен в теории вероятностей.
- первый смешанный момент
Мы знаем что . Откуда
Аналогично .
Тогда уравнение линейной регрессии имеет вид:
Из уравнения регрессии возникает следующее:
1. точка пересечения линий регрессии – ;
2. если r=0, то линейная зависимость отсутствует;
3.
Чем ближе к 1, тем теснее линейная зависимость. На практике считают, что если r>0.6, то между случайными величинам существует сильная линейная зависимость.
Замечание: если r=0, то линейная зависимость отсутствует, но может быть нелинейная корреляционная зависимость.
22.