Симметричные и антисимметричные волновые функции. Схемы Юнга.

Уравнение Шредингера допускает решения общего типа, как обладающие, так и не обладающие определенным типом симметрии. Из всех этих решений для систем, состоящих из фермионов, надо взять только решения, соответствующие антисимметричным функциям, а для систем бозонов — симметричным функциям. Покажем, как можно получить решения с указанными свойствами симметрии. Пусть система состоит из двух частиц, и функция является одним из решений - уравнения , тогда, в силу одинаковости частиц, функция , образованная из путем перестановки частиц 1 и 2, также будет решением уравнения . Из этих двух решений легко составить функции, обладающие требуемой симметрией. С точностью до множителя нормировки антисимметричная и симметричная функции будут соответственно иметь вид

(1)

(2)

Этот процесс антисимметризации и симметризации волновых функций обобщается и на случай систем, состоящих из одинаковых частиц. В такой системе возможны различных

перестановок частиц. Функция, соответствующая каждой перестановке, может быть получена из первоначальной функции путем последовательной перестановки пар частиц.

Пусть обозначает функцию, которая получается в результате последовательных перестановок пар частиц. Тогда с точностью до множителя нормировки

симметричная и антисимметричная функции будут получаться по правилу

(3)

(4)

где суммирование проводится по всем функциям, соответствующим различным возможным перестановкам частиц системы. Точное решение задачи многих частиц в квантовой механике

наталкивается на непреодолимые математические трудности. Однако в ряде случаев основные особенности квантовых систем могут быть объяснены при использовании метода последовательных приближений, в котором в нулевом приближении частицы считаются независимыми, а в высших приближениях взаимодействие учитывается на основе теорий возмущений. Итак, в нулевом приближении оператор Гамильтона системы частиц будет равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц:

(5)

В этом случае СФ оператора представляется в виде произведения или линейной комбинации произведения СФ операторов отдельных частиц, а СЗ будет равно сумме СЗ операторов . Пусть функция удовлетворяет уравнению:

(6)

Здесь – совокупность квантовых чисел, характеризующие квантовое состояние частицы. Тогда СФ оператора соответствует СЗ (7) будут линейными комбинациями функций

Для системы бозонов волновая функция должна иметь вид симметризованного произведения, т.е. (8)

Где множитель нормировки. Для систем фермионов функция в соответствии с (4) должна иметь вид (9)

Вместо записи (9) можно антисимметричную волновую функцию изобразить в виде детерминанта

(10)

Изменение знака функции (10) при перестановке любой пары частиц непосредственно следует из изменения знака детерминанта при перестановке двух его столбцов. Из (10) следует так называемый принцип Паули. Согласно принципу Паули, система одинаковых фермионов не может находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями (10), содержащими хотя бы два одинаковых одночастичных состояния.

В самом деле, если среди одночастичных состояний имеется хотя бы два одинаковых, то детерминант тождественно обращается в нуль.

Итак, в системе, состоящей из одинаковых фермионов, две (или более) частицы не могут находиться в одинаковых состояниях. Конечно, в такой формулировке принцип Паули может применяться только к системам слабовзаимодействующих частиц, когда можно говорить (хотя бы приближенно) о состояниях отдельных частиц.

В общем случае можно сказать, что система частиц удовлетворяет принципу Паули, если она описывается только симметричными волновыми функциями относительно перестановки пар частиц. Следует, далее, отметить, что хотя функция (10) характеризует состояния системы, в которых отдельные частицы находятся в одночастичных состояниях , нельзя указать, какая именно частица находится в каждом из этих состояний.

В нерелятивистском приближении (и в отсутствие внешнего магнитного поля) оператор Гамильтона системы одинаковых частиц

(11)

не содержит операторов спина частиц. Поэтому волновая функция системы может быть записана в виде произведения функции Ф, зависящей только от пространственных координат (координатная функция), на функцию , зависящую только от спиновых переменных (спиновая функция):

(12)

или в виде линейной комбинации таких произведений. Волновая функция (12) в виде произведения координатной и спиновой функций часто используется как первое приближение и при исследовании систем с операторами Гамильтона, содержащими спин-орбитальное взаимодействие. Рассмотренные выше требования симметрии волновых функций по отношению к перестановкам частиц относились к полной функции, так как перестановке частиц соответствует

перестановка как пространственных, так и спиновых переменных. Если функция ф представляется в виде произведения спиновой и координатной функций (или линейных комбинаций таких

произведений), то требуемая симметрия функции (12) может быть обеспечена несколькими парами функций Ф и χ , обладающих симметрией некоторых типов относительно перестановки

соответствующих координат. Для выяснения таких возможностей удобно воспользоваться схемами Юнга. Каждая схема Юнга относится к определенному типу симметрии относительно перестановки независимых переменных, соответствующей перестановке частиц. Схема Юнга для

координатной волновой функции переменных определяются разбиением числа всеми возможными способами на сумму слагаемых . Такое разбиение

наглядно изображается расположением клеток строками, в каждой из которых содержатся в порядке убывания числа , ... Например, число можно представить пятью

способами 4 = 3+1=2 + 2 = 2+1 + 1 = 1 +1 + 1 + 1,

следовательно, при имеется 5 схем Юнга

( 13)

Для краткого обозначения схем Юнга иногда используются квадратные скобки, внутри которых указываются числа клеток в каждой строке схемы Юнга. Так, приведенные выше схемы

Юнга для изображаются соответственно [4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1].

В олновые функции, относящиеся к определенной схеме Юнга, получаются путем симметризации по переменным, входящим в состав каждой строки, и антисимметризации по переменным, входящим я состав каждого столбца, начиная с первого. Схема Юнга [4] соответствует полностью симметричной функции. Схема Юнга [1, 1, 1, 1] соответствует полностью антисимметричной функции. Остальные схемы Юнга в (13) изображают волновые функции смешанной симметрии. Так как переменные спиновой функции частиц со спином пробегают только два значения , то функция может быть антисимметризована не более чем по двум переменным. Другими словами, функции могут соответствовать только схемам Юнга, содержащим не более двух строк. Например, для системы из четырех частиц спиновые волновые функции могут соответствовать только схемам Юнга

(14)

Здесь стрелками в клетках условно обозначены спиновые состояния.

Можно показать, что для систем, состоящих из частиц спина , волновые функции, соответствующие каждой схеме Юнга, изображают состояния с определенным значением

полного спина системы, значение которого в единицах будет в дальнейшем обозначаться буквой . Например, спиновые функции, соответствующие схемам Юнга (14), изображают, соответственно, состояния с полным спином 2, 1 и 0. Схемы Юнга для спиновых волновых функций системы, состоящей из трех частиц спина 1/2, изображают

соответственно два возможных состояния со спинами 3/2 и 1/2. Схемы Юнга системы двух частиц со спином 1/2 изображают состояния со спином 1 и 0.

Схемы Юнга для спиновых функций характеризуют только полный спин системы. Поэтому каждая схема Юнга, соответствующая полному спину изображает различных

спиновых состояний, которые отличаются друг от друга проекциями полного спина.

Если обозначить волновые функции двух возможных спиновых состояний частицы спина 1/2 соответственно через , то спиновая функция, соответствующая схеме Юнга .

(суммарный спин равен 0), будет иметь вид

К схеме Юнга (суммарный спин равен 1) относятся три спиновые функции

Каждому спиновому состоянию системы N частиц, т. е. каждой схеме Юнга для спиновой волновой функции , можно найти такую схему Юнга для координатной функции Ф, чтобы полная функция была антисимметрична относительно одновременной перестановки координатных и спиновых переменных любых двух

ч астиц. Например, если в системе четырех частиц спиновая функция соответствует схеме Юнга [4], то эту функцию надо умножить на координатную функцию, соответствующую схеме Юнга [1, 1, 1, 1]. В общем случае можно показать, что полная волновая функция будет антисимметричной, если спиновая волновая функция, соответствующая некоторой возможной схеме Юнга, умножается на координатную функцию, соответствующую транспонированной схеме Юнга. Например, для системы четырех частиц возможны три антисимметричные функции (индексы у функции указывают значение полного спина состояния)

Если система состоит из частиц полуцелого спина , то спиновая волновая функция будет содержать не больше чем строк. В этом случае, вообще говоря, полный спин системы, состоящей более чем из двух частиц, не определяет однозначно схему Юнга спиновой функции.

Волновые функции систем частиц, обладающих целым спином, должны быть симметричны, поэтому они изображаются произведениями координатной и спиновой функций, относящихся к одной и той же схеме Юнга, или линейными комбинациями таких произведений.