- •Раздел III. Основы математического анализа в социально–экономической сфере. Лекция 1 Функции одной вещественной переменной, пределы. План:
- •1. Основные сведения о функциях.
- •2. Способы задания функций. Примеры функций из психологии, экономики и социологии.
- •3. Понятие предела функции. Теоремы о пределах.
- •3. Использование пределов в экономике и социологии.
2. Способы задания функций. Примеры функций из психологии, экономики и социологии.
Рассмотрим основные способы задания функций:
Аналитический способ, если функция задана формулой . Аналитический способ удобен для решения задач прогнозирования.
Пример. , где у — годовой темп прироста ставки заработной платы (в процентах), х — общий уровень безработицы (в процентах). Это формула Филлипса.
Табличный способ, если дана таблица, содержащая значения переменной x и соответствующие значения переменной y. В виде таблиц записываются результаты экспериментального исследования каких-либо социологических процессов и явлений.
Пример. Рост числа научных изданий у, начиная с 1750 г. с интервалом в 50 лет, в зависимости от года x, выглядит (округленно) следующим образом.
X |
1750 г. |
1800 г. |
1850 г. |
1900 г. |
1950 г. |
У |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
100000 |
К недостатку табличного способа можно отнести невозможность поместить в таблице все значения аргумента.
Графический способ, если задан график функции. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), т.е. абсциссами является значения переменной x, а ординатами – соответствующие им значения функции y.
Рассмотрим основные элементарные функции:
степенная функция , где – действительное число;
показательная функция , где ;
логарифмическая функция , где ;
тригонометрические функции ;
обратные тригонометрические функции .
Приведём примеры функций из психологии, экономики и социологии.
1. Для большого числа групп одинакового размера n эмпирически (на основе опытных данных) вычисляется — частота действий индивида r-го ранга в группе размера n. Функция частоты действий индивида от его ранга r имеет вид: , где - эмпирический коэффициент для группы размера n.
2. Функция цены от спроса товара. Если х - спрос на товар, у - цена товара, то у=f(x). Например, .
3. Функция спроса от цены товара. Пусть х - цена товара, у - спрос на товар, то у=f(x). Например, .
4. Сумма денежного вклада в Сбербанке у - функция от времени x, которое хранится вклад: у = f(х). Например, .
5. Психофизический закон Вебера-Фехнера: , где S – интенсивность ощущения,Y – интенсивность раздражителя, a и b – константы, зависящие от условий и вида раздражителей.
6. Скорость смены представлений в сознании (И. Гербарта): , где x – время, y – скорость, a и b – константы, зависящие от опыта.
7. В психологическом тесте Д. Векслера зависит линейно от шкальных оценок по 11 субъектам этого теста
, где -общий показатель уровня интеллекта, 1 - шкальные оценки, b0 - поправка на зависимость относительного интеллекта от возраста человека.
3. Понятие предела функции. Теоремы о пределах.
Мы будем использовать понятие интервала. Пусть - действительные числа, . Рассмотрим определения различных интервалов.
- открытый интервал;
- замкнутый интервал.
Полуоткрытые (полузамкнутые) интервалы:
- интервал, открытый слева и замкнутый справа;
- интервал, открытый справа и замкнутый слева.
Полубесконечные интервалы:
, , , .
Напомним, что - это множество всех действительных чисел.
Пусть - действительное число, - положительное число. Открытый интервал называется - окрестностью числа . Окрестностью числа называется множество, которое содержит некоторую -окрестность этого числа.
Рассмотрим функцию y = f(x), xX и пусть x1X и x2X, причем x1<x2, тогда функция называется: монотонно возрастающей, если f(x1) < f(x2), монотонно убывающей, если f(x1) > f(x2), неубывающей, если f(x1) f(x2), невозрастающей, если f(x1) f(x2).
Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к a, если при любом > 0 существует такая окрестность точки a, что для любого x a из этой окрестности выполняется
Если A является пределом функции в точке а, т.е. при , то это записывается так:
или .
Предел постоянной функции в любой точке равен этой же постоянной.
Если функция f(x) имеет предел при x, стремящемся к a, то этот предел единственен.
Теоремы о пределах функции: Если при xa существуют пределы функций f(x) и g(x), то существуют также и пределы их суммы, произведения, частного в точке a, причем:
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
.
Пример. Вычислить пределы:
1) ,
2) .
Функция y = f(x) называется бесконечно большой в точке a, если
, аналогично определяется, если , т.е.
Функция y = f(x) называется бесконечно малой в точке a, если , аналогично .
Очевидно, что если f(x) – бесконечно большая функция при xa, то функция - бесконечно малая при xa.
При решении конкретных задач в отсутствии неопределённостей пользуются таблицами наиболее часто встречающихся пределов, значения которых много раз проверены:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) , где с = const,
6) .
Бесконечно малые и бесконечно большие функции обладают свойствами:
Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при также является бесконечно малыми функциями при .
Пример. Функция является бесконечно малой в точке , т.к. . А функция является бесконечно малой при , так как и бесконечно большой при x=1 так как .
Если и – б.м. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , если же и – б.б. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , а выражение – неопределённостью вида .
Раскрытие неопределенностей.
Раскрыть неопределённость – значит найти предел соответствующего выражения, если он . Для раскрытия неопределённости используют следующие приемы, если функциональное соответствие представляет собой отношение двух многочленов ,и , то следует числитель и знаменатель разделить на , где .
Пример. Вычислить предел