Закон больш чисел

Груп теорем об устойч ср знач: при больш числе испыт – ср знач предсказ с достат точн-ю

ЦПТ – Гр теор показ, что при общ услов з-н распред Σ болш числа СВ близ к нормал з-ну распред (~N(a,σ²))

1. Лемма Чебыш (Нерав Маркова)

If X - СВ(>=0), Сущ M(X) => (Vε>0) [P(X>=ε)<=M(X)/ε] or [P(X<ε)>=1 - M(X)/ε]

Пр: ср кол вызов пост за 1 час: M(X)=21. Оцен вер-ть, что за час поступ: а) <=35, б) >60 вызов

а) P(X<=35)>=1-21/35>=2/5>=0.4

б) P(X>60)<=21/60≈0.35

2. Нерав Чебышева

If X - СВ(произвольн), Сущ M(X) и D(X) => (Vε>0) [P(|X-M(X)|>=ε)<=D(X)/ε²] or

[P(|X-M(X)|<ε)>=1 - D(X)/ε²]

Пр: сеть обслуж эл. Подстанц в 1 тыс ламп,

P(вкл кажд ламп)=0,6. Вер того что включ одновр [5900,6100] ламп-?

Х- бином зак-н: M(X)=np=10000*0.6=6000

D(X)=npq=6000*0.4=2400

[P(|m-np|>=ε)]<=npq/ε²] –для схем Бернули(Сл1).

5900<=Ч<=6100 - |X-6000|<=100

P(5900<=X<=6100)=P(|X-6000|<=100)=

=P(|X-M(X)|<=100 >= 1- D(X)/ ε² = 1- 2400/100=0.76

[P(|m/n-p|>=ε)= P(|m-np|>=nε)]<=npq/(nε)²= pq/nε²] –

для схем Берн(Сл2) P(|m/n-p|<ε)]<=1- pq/nε²

3. т-ма Чебышева

Пусть X1,X2…СВ – независ, (Сущ C>0, D(Xi), i из N)

[P(|Σxi /n - ΣMi /n|<ε)>=1- C/n ε²,

Lim(n->∞) P(|Σxi /n - ΣMi /n|<ε)=1]

Cл1: If X1,X2…СВ – независ, одинак, M(Xi)=a, D(Xi)=σ² (Vε>0)[ P(|Σxi /n - a|<ε)>=1- σ²/n ε²,

Lim(n->∞) P(|Σxi /n - a|<ε)=1]

Cл2: Lim P(|m/n-p|<ε)=1

ЦПТ

X1,X2,…Xn – Независ СВ, одинак распредел

M(Xi)=a, D(Xi)=σ² , все i из N.

Zn=(Σxi – M(Σxi))/√ D(Σxi) =(Σxi – na))/ σ√n

Тогда: M[Zn]=0, D[Zn]=1, Fz_n=P(Zn<t) -> N(0,1)=

=Ф(t)=1/√2π ∫_-∞^t e^{-x^2/2}dx – ф-я норм распред [0,1]

Cл1: Sn=X1+X2+…Xn ~ N(норм зак распред)

n-большое. M(Sn)~na, D(Sn)~n σ²

Fz_n(t)=1/σ√2π∫_-∞^t e^{-(x-na)^2/2nσ^2}dx

Cл2: (n>10) P(α<Sn<β)≈Ф(β-M(Sn)/σ[Sn]) -

- Ф(α-M[Sn]/σ[Sn])

Cл3: Лок и Интегр т-ма Муавра-Лапл

Сист 2х случ велич

(X,Y)- двум СВ – Дискр и Непрер

Дсв(X,y) –Закон Распредел

Табл знач и их вер:

x\y y1, y2, … ym Σ

x1 p11 p1m p1=P(X=x1)=Σp1j

x2 p12

xn p1n pnm pn=P(X=xn)=Σpnj

Σ q1 qm

q1=Σpi1=P(Y=y1) ΣΣpij=1

X,Y –независимы: pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)*P(Y=yj)=piqj

x -2 2 y -1 1 3

pi 0.4 0.6 pj 0.5 0.2 0.3

x\y -1 1 3 Σ

-2 0.20 0.08 0.12 0.4

2 0.30 0.12 0.18 0.6

Σ 0.5 0.2 0.3 1

Ф-я распределения: F(t,s)=P(X<t И Y<s)

(X,Y)- ДСВ

F(t,s) = Σpij, xi<t, yj<s

1) P(a<=X<b, Y<d)=F(b,d)-F(a,d)

2) P(X<b, c<=Y<d)=F(b,d)-F(b,c)

3) P(a<=X<b, c<=Y<d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)

4) P(X>=a, Y>=d)= 1-P(X<a,Y>d) - P(x>=a,Y<d) -P(X<a,Y<d)=1-F(a,d)-(P(x<a и Y люб)-F(a,d))-(P(Y<d и Xлюб) – F(a,d))=1-F(a,d)-Fx(a)+F(a,d)-Fy(d)+F(a,d)=

=1-F(a,d)-Fx(a)-Fy(d)

Cв-ва:

F(t,s)=P(x<t и Y<s)

1) 0<=F(t,s)<=1

2)F(t,s) – не убыв, по кажд перемен

3)F(t,s) – непрер слева по кажд перем для ДСВ, Непрер для НСВ

4)F(-∞,-∞)=F(-∞,s)=F(t,-∞)=0

F(+∞,+∞)=1 F(t,+∞)=Fx(t) F(+∞,s)=Fy(s)

Для X,Y независим: F(t,s)=Fx(t)*Fy(s)