Плотн распределен:

Двум СВ-непрер – ф непрер по X и Y

f(t,s)=p(t,s)=∂²F(t,s)/ ∂t∂s

Св-ва:

1) f(t,s)>=0,

2) ∫∫_-∞^+∞ f(t,s)dtds = 1

3) F(t,s)= ∫_-∞^tdn∫_-∞^s (u,v)dv

4)P((X,Y)изD)=∫ ∫_Df(u,v)dudv

5)fx(t)= ∫_-∞^+∞f(t,v)dv, fy(t)= ∫_-∞^+∞f(u,s)du

Для X,Y независим: f(t,s)=fx(t)*fy(s)

Пример: X,Y независ. X-R(-1;3), Y-R(1;6) равном распр

З-н распределен

Условн зак распред СВ X из XY – з-н распред X, найден при услов чт Y прим опред знач.

Если СВ дискр: P(Y=yj| X=xi)= P(X=xi и Y=yj)/P(X=xi)

и наоборот

Пр: x\y -1 0 1 Σ (X|Y=-1) 2 4

2 0.06 0.24 0.30 0.6 P 0.3 0.7

4 0.14 0.06 0.20 0.4

Σ 0.2 0.3 0.5 1

Условное м и d:

1)ДСВ: M(Y|X=xi)= M(Y|xi)= Σ yj P(Y=yj| X=xi)

D(Y|xi)= Σ(yj – M[Y|X=xi])² p(Y=yj|X=xi) = Σyj²P(Y=yi|X=xi) – M²(Y|xi)

2)НСВ: M(Y|X=x)= ∫_-∞^+∞yf(y|x)dy

D(Y|x)= ∫_-∞^+∞ (y-M[Y|x])² f(y|x)dy=∫_-∞^+∞ y² f(y|x)dy-M²[Y|x]

Коэф ковариации и кореляции

1) Кореляц Мом

Kxy=cov(X,Y)=M(XY) – M(X)*M(Y)=

= M[(X-M(x))*(Y-M(Y))]

1)ДСВ Kxy=ΣΣ (xi – M(X))(yj-M(y))pji =

Σσxiyjpij – M[X] *M[Y]

Знач: K(X,Y)=0 -> X,Y – независимы

Rxy= r(XY) = cov(X,Y)/σ[x]σ[y]=cov(X.Y)/√D(x)D(y)

Св-ва: -1<=r(x,y)<=1

r(x,y)=0 -> X,Y – независ

r(x,y)=+-1/ Y=aX+b – линейн связь

знач:хар-ет тесноту лин связи (мал знач – знач связь X и Y слабая или сильная но не линейн)

2)НСВ: Kxy=cov(X,Y)=∫∫_-∞^+∞(x=M[x])(y=M[y])f(X,Y)dxdy

=∫∫_-∞^+∞xyf(x,y)dxdy - M[X]M[Y]

Функц св

1. 1 перемен: Y=φ(X): 1)обратима: 1X->1Y, 1Y->1X

2) X-ДСВ -> Y –ДСВ

3) P(Y=y1)=(Y=φ(x1))=p(X=x1)=p1

xi 1 2 ... Y φ(x1) φ(x2)…

p p1 p2 ... P p1 p2 …

4) M[Y]=M[φ(x)]=Σyipi = Σ φ(xi)pi

5) Y=ax+b -> M[Y]=aM[X]+b –для лин функц

y=φ(x)=ax+b -> M[Y]=Σ(axi+b)pi=aM[X]+b

6) D[Y]=Σ(yi-M[Y]²)pi=Σyi²–M²[Y]= Σφ²(x)pi– M²[φ(X)]

2. Φ(X) – монотон, деффиренц

1) X-НСВ -> Y= φ(X) –НСВ

2) f(X)-> g(Y)=f(φ^-1(y))*|( φ^-1(y))'|

3. Z= φ(X,Y) – кажд паре одно Z

Ф. распред СВ – Z: G(Z)=p(z<t)=p(φ(x,y)<t)

Если X,Y –ДСВ с вер pij=p(X=xi, Y=yj)

Тогда G(Z)=Σpij (φ(x,y)<t)

Gz(t)=∫∫_Dt f(X,Y) dx dy, где Dt{(x,y)| φ(x,y)<t}

Частн случ: Z=X+-Y, φ(x,y)=x+y

Gz(t)= ∫_-∞^+∞ dx ∫_-∞^t-xf(x,y)dy

Dt={(x,y)| x+y<t }

X,Y – независ -> f(x,y)=f1(x)-f2(y)

Плотн распредел Z: g_z(t)=dG(t)/dt=

= d/dt (∫_-∞^+∞dx ∫_-∞^t-xf(x,y)dy)= ∫_-∞^+∞(d/dt∫_-∞^t-xf(x,y)dy)dx =

=∫_-∞^+∞ f(x,t-x)dx= ∫_-∞^+∞ f1(x) * f2(t-x)dx= (f1*f2)(t) – свертка

f(x,y)= ∂²F(x,y) / ∂x∂y

Эл мат статистики

Сущ X-СВ –> Fx(t)

CВ Х – наблюд в случ Эксперим (услов экспер не мен)

Вектор СВ (Х1,Х2,…Xn)

Конкр знач образ выборки: независ, одинак распредел X

Числа(x1,x2,…xn) – конкр знач получ при кажд испыт

Зак распред Fx(t) – Зак распред генеральн совок-ти

Выбор Св (x1,x2,…xn) - выборка

Вариац ряд: сущ X – рост студента курса: 163,178,159,187,178,182,182,168,178. Распол знач в пор возр(убыв) – вар ряд: X 159 163 168 178 182 187

f 1 2 1 3 2 1

X1,Xn – крайн члены вариац ряда

f-Частота встреч

Дискр вариац ряд(интервал – если знач зад промеж-ми)

Для Оц: D(Xn)=minD(X), M(Xn)=C – задан