18)Уравнения высшего порядка основные понятия и определения

ОДУ n-го порядка имеет вид F(x,y,y’,..yⁿ)=0 (1), F-заданная в некоторой области D функция. Уравнение вида у⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’…y^(n-1)) (2) называют разрешенным относительно старшей производной.

Задача Коши для 2 формулируется так: найти решения 2 удовлетворяющие начальным условиям 3 y(x0)=y0; y’(x0)=y’0; y^(n-1)(x0)=y^(n-1)0;(3). Теорема сущ-я и единственности решения задачи коши: если функция f и ее частные производные δf/δy, δ f/δy’, δf/δy⁽ⁿ⁾- непрерывна в некоторой области D и точка(х0,y0,y’0…y^(n-1)0)€D то сущ-ет интеграл (x0-δ,x0+δ)€D на котором ур-е 2 имеет реш-е удовл-е условию 3 и это реш-е единственное. Область Dназ-ют областью единственности реш-я задачи 2-3. Реш-ем ур-я 2 наз-ют n раз непрерывно диф-ю ф-ю y=ϕ(x), обращающую 2 в верное тождество. Общим реш-ем ур-я 2 наз-ют ф-ю y= ϕ(x,C1,C2…Cn) в области ед-стиD. С1,С2,Сn-произв-ая постоянная кот обладают след-ми св-вами

1)при любых знач-ях Сii=1,n^-- .эта ф-я удовл-етур-ю 2

2)каковы бы ни были нач-ые условия 3 всегда найдется набор постоянных C1₀,C2₀…Cn₀ что ф-я y=ϕ(x,C10,C20…Cn0) будет удовлетворять условиям 3. Реш-е полученное из общего при конкретных знач-ях Сiх наз-ют частными .Если искомая ф-я найдена неявным образом, то выраж-е вида Ф(х,у,С1,С2…Сn)наз-ют общим интегралом. Частный интеграл получ-ся из общего при конкретныхзнач-ях Сi. Если удается понизить порядок ур-я 1 на ед-цу ,то выраж-е вида F(x,y,y’…y^(n-1),C1)=0.Если на n-ед-ц то F^~(x,y,y’…y^(n-1),C2,…Ck)=0 наз-ют к-ым интегралом.

19. Уравнения, допускающие понижения порядка.

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка удается выполнить только в некоторых частных случаях. Укажем несколько классов уравнений, которые допускают понижение порядка.

Уравнение вида y(n)= f(x) . Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:

y(n)= f(x),

y(n-1)=∫f(x)dx+c1=f1(x)+c1

y(n-2)= ∫[f1(x) +c1]dx=f2(x)+c1x+c2

y=fn(x)+ c1/(n-1)!*x(n-1)+ c2/(n-2)!*x(n-2)+..+cn-1x+cn

гдеfn(x)=∫∫…∫f(x)dxn .

В силу того, что, c1/(n-1)!, c2/(n-2)!,… являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано и так :

y=fn(x)+ c1x(n-1)+ c2x(n-2)+..+cn-1x+cn

2. Уравнение вида F(x, y’,..., y(n) ) = 0 – это уравнение, которое явно не содержит искомой функции y и ее производных до порядка k -1 включительно. С помощью замены

y’= z( x) понижается порядок уравнения:

F(x, z, z’,..., z(n-1) ) = 0 . Допустим, что для полученного уравнения можно найти общее решение z(x) =ϕ(x,C1,...,Cn-1 ) . Тогда решение искомой функции y=∫ϕ(x,C1,...,Cn-1 )dx+cn .

3. Уравнение вида F( y, y’,..., y(n) ) = 0 , которое не содержит явно не зависимой перемененной. Подстановкой

y’=z(y); y’’=dz/dy*dy/dx=z’*z; y’’’=d(y’’) /dy*dy/dx=(z’’*z+z’*z’)y’=z’’z2+z’2z

допустим что это уравнение имеет общее решение z=ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)

dy/dx= ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)

dy/ ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)=dx

тогдаобщийинтеграл x=∫ dy/ ϕ(y,c1,c2,…,cn-1)+cn

4. Уравнение F (x, y, y’,..., y(n) ) = 0 , однородное относительно функции y и ее производных. Это значит, что F (x, λy,λ y’,...,λy(n) ) =λm F (x, y, y’,..., y(n) ) порядок уравнения понижается подстановкой z= y’/y.

5) Уравнение вида d/ dx (F (x, y, y’ ,..., y(n -1) )) = 0

− это такое уравнение, у которого левая часть может быть представлена как

полная производная по x от некоторой функции F(x, y,y.,..., y(n-1) ) . Если проинтегрируем его по x , то получим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже

порядка исходного уравнения.

6) Уравнение F (x, y, y’,..., y(n) ) = 0 называется обобщенным однородным, если существует такое число k, при котором левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно всех аргументов при условии, что x, y, y’,..., y(n) считаются величинами соответственно 1,k,(k -1),...,(k - n) -ой степени.

Чтобы узнать, будет ли уравнение обобщенным однородным и найти число k, необходимо сравнить показатели степеней, в которые число k будет входить согласно с определением каждого члена уравнения. Если полученные уравнения для k будут несовместными, то дифференциальное уравнение не является обобщенным.

После того, как число k найдено, необходимо сделать замену переменных x = et , y = zekt , где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная. Получаем уравнение, в которое не входит независимая переменная x . Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов

20)Наряду с Коши для ур-я 2 ставятся так наз-ые краевые (граничные задачи) в котором реш-е ур-я требуется найти при опред-ых условиях .заданных на концах указанного отрезка. Так напр линейная кривая задача для ур-я 2-го порядка на некотором интеграле(а,в)ставятся так :найти реш-е этого ур-я удовл-го краевым условиям αy(a)+βy’(a)=A ; ϒy(a)+δy’(a)=B (4) условие 4 наз-ют (краевым) граничным условием.

Краевые задачи

Краевые задачи

задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение

имеет бесконечное множество решений u (x1, х2) = f (x1+x2) + f1(x1-x2), где f и f1 — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике —а ≤ x2 ≤ a, 0 ≤ x1 ≤ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x1, x2 уравнение (1) имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым

u (0, x2) = 0, u (l, x2) = 0, —а ≤ x2 ≤ a, (2)

и начальным

u (x1, 0) = φ(x1),

условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции φ и ψ считаются наперёд заданными. Если переменное x2 есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) — простейший пример так называемой смешанной задачи.

Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x1,..., xn) = х ищется решение u (х) = u (x1,..., xn) уравнения

Du (x) = 0, x ∈ G (4)

при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию

Bu (у) = 0, y ∈ S, (5)

где D и В — заданные операторы, причём, как правило, D — дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).

Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n — 1)-мерной гиперповерхностью, D — линейным дифференциальным оператором второго порядка ,

а

,

где Ai, j, Bi, C, F, f — заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же

,

где ai, i = 1,..., n, f — заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a1,..., an) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если

F (x) = 0, f (y) = 0.

Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

G ∪S (6)

где λ1,..., λn — произвольные действительные параметры, а k0 и k1 — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) ≤ 0, x ∈ G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D представляет собой оператор Лапласа

n = 1 в интервале —1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) = ,

где f1= u (—1), f2 = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

где |х—у| — расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) — 5).

В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма

D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a1..., an) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности

,

являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x2 = 1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, x2) = f (x2), 0 ≤ x2 ≤ 1

u (x1,0) = φ(x1), 0 ≤ x1 ≤ 1

u (1, x2) = ψ(x2), 0 ≤ x2 ≤ 1

f (0) = φ(0), ψ(0) = φ(1)

при произвольных достаточно гладких данных f, φ. ψ. Следовательно, краевое условие u (x1,1) = θ(x1), 0 ≤ x1 ≤ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x1 + x2 = 0, x1 - x2 = 0, x1 + x2 = 1, x1 - x2 = —1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:

u (x1, x1) = f (x1), 0 ≤ x1 ≤ 1/2

u (x1,-x1) = φ(x1), —1/2 ≤ x1 ≤ 0

f (0) = φ(0)

при произвольных достаточно гладких данных f и φ. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x1,1+x1), —1/2 ≤ x1 ≤ 0, и u (х1, 1-x1), 0 ≤ x1 ≤ 1/2, не могут быть заданы произвольно.