21)Линейные дифференциальные уравнениявысших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называют уравнение вида yⁿ+a₁(x)*y^n-1+…+a_n(x)*y=0

где функции a_i(x) , непрерывны на некотором интервале I = (a;b), то сущ-етреш-е ур-я (1),удовл-шее нач-ым условиям y(x₀)*y₀; y’(x₀)*y’₀ ;y^n-1(x₀)*y₀^n-1 где х₀€ I, и это реш-е единственное.

Из этого утверждения следует , если реш-е 1 удовл-ет нулевым нач-ым условиям y(x₀)=0; y’(x₀)=0 ; y^n-1(x₀)=0, то оно тождественно обращается в ноль на всем интервале I. Если ввести линейный оператор L(y)= yⁿ+a₁(x)*y^n-1+…+a_n(x)*y ,то L(y)=0

Свойство реш-й ур-я (1):

1)Если у₁ и у₂ есть реш-е (1),то их сумма у₁+у₂ также есть реш-е (1)- это св-во следует из линейности оператора L(у₁ + у₂)=L( у₁)+L(у₂)=0+0=0

2)Если у – реш-е (1),то С*у , С=const,также реш-е (1) . L(Cy)=CL(y)=C*0=0

3)Если комплексно значнаяu(x)+i*v(x); (i²=-1 – линейная еденица) явл-сяреш-ем ур-я (1),то ее действит-ная часть u(x) и мнимая часть v(x) также явл-сяреш-ем ур-я (1)

L(u(x)+i*v(x))=L(u(x))+i*L(v(x))=0; L(u(x))=0 и L(v(x))=0

Из св-в 1 и 2 следует ,что множество реш-й ур-я (1) обр-ет линейное пространство , поэтому для того ,чтобы найти все реш-я (1) необходимо построить так наз-мую фундаментальную систему реш-й т.е. ситему линейно независимых реш-й

Напомним ,что система ф-й у₁(х), у₂(х)… у_n(х) явл-ся линейно независимыми ,если рав-во α₁*у₁+ α₂*у₂+ α_n*у_n=0 (3) вып-ся тогда и только тогда ,когда все α_i=0 . Если же сущ-ет хотя бы 1-на из постоянных α_i-ых отличная от нуля при которой (3)имеет место , то системы ф-й у_1…у_nназ-ют линейно зависимой. Для установления линейной зав-ти ф-й пользуются определителем Вронского

Имеет место утверждение : пусть у₁(х)…y_n(x) есть реш-е ур-я (1),тогда а)если в некоторой точке х₀W(х₀)≠0 ф-и у₁(х)…y_n(x) – линейно независимы б)Если сущ-етхотябы 1на точка х₀~ такая ,что W(х₀~)=0 , то ф-я линейно зависима из этого условия следует , что определитель вронского ,составленный из фундаментальной системы реш-й не обр-ся ни в 1-ой точке интервала I.

22)Структура общего решения линейного однородного уравнения. Систему функций y1, y2,..., yn, являющихся линейно независимыми решениями уравнения (3), называют фундаментальной системой решений этого уравнения. Для такой системы вронскиан W(x) =W[ y1(x), y2 (x),..., yn(x)] . 0 .

Теорема 1. Если y1, y2,..., yn – фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения (3), то его общее решение имеет вид

y = C1y1 + C2 y2 + ...+ Cnyn , (6)

где Ci , i =1,n , – произвольные постоянные.

Доказательство. Выражение (6) является решением уравнения (3) на основании свойства линейного диффер е н ц и а л ь н о г о о п е р а т о р а .

Докажем, что если

y = y0 , y’ = y’0 , …,y(n-1)= y0(n-1) при x = x0 , (7)

то C1,C2,...,Cn можно подобрать таким образом, что (6) будет удовлетворять условиям (7). Подставляя в (6) x = x0 и обозначая yi (x0 ) = yi0 ,i =1, n , получим систему линейных алгебраических уравнений

c1y10+ c2y20+…+ cnyn0=y0

c1y’10+ c2y’20+…+ cny’n0=y’0

c1y’’10+ c2y’’20+…+ cny’’n0=y’’0

c1y(n-1) 10+ c2 y(n-1) 20+…+ cny (n-1)n0=y (n-1)0

(8)

Так как главным определителем системы (8) является определитель Вронского при x = x0 и W(x0 ) ≠ 0 , то эта система имеет единственное решение относительно неизвестных C1,C2,...,Cn , при котором функция (6) удовлетворяет условиям (7). Итак, дока-

зано, что если y1, y2,..., yn – система линейно независимых решений уравнения (3), то функция (6) является решением этого уравнения, и любое решение этого уравнения можно получить из формулы (6) соответствующим выбором постоянных C1,C2,...,Cn . Таким образом равенство (6) определяет общее решение линейного однородного уравнения (3).

Сформулированные выше свойства позволяют решить следующую задачу: по данной системе n линейно независимых функций y1(x), y2 (x),..., yn (x), непрерывных вместе со своими производными до n-го порядка включительно на (a;b) , построить линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка, решениями которого являются данные функции. Искомым дифференциальным уравнением является следующее равенство:

=0

23.общего решения неоднор. лин. ДУ высших порядков. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x). Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям : − при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функция y = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} . Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения). Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид y(x,C₁,..., C_n) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + ... + C_ny_n(x) + y*(x), где C₁,...,C_n — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

24.Лин.зависимость и независимость системы функций. Опр.Вронсокго. Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для . Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b). Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.