20)Дисперсия.

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина  имеет математическое ожидание M , то дисперсией случайной величины  называется величина D = M( - M )².

Легко показать, что D = M( - M )²= M ² - M( )².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M ² >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

,  .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение  , связанное с дисперсией соотношением  .

Основные свойства дисперсии: дисперсия любой случайной величины неотрицательна, D   0; дисперсия константы равна нулю, Dc=0; для произвольной константы D(c ) = c²D( ); дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(  ) = D( ) + D ( ).

21) Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, определяется формулой .

Наиболее общим случаем различного рода вероятностных распределений является биномиальное распределение. Воспользуемся его универсальностью для определения наиболее часто встречающихся на практике частных видов распределений.

Биномиальное распределение

Пусть имеется некое событие A. Вероятность появления события A равна p, вероятность непоявления события A равна 1 – p, иногда ее обозначают как q. Пусть n — число испытаний, m — частота появления события A в этих n испытаниях.

Известно, что суммарная вероятность всех возможных комбинаций исходов равна единице, то есть:

1 = pⁿ + n · p^n – 1 · (1 – p) + C_n^n – 2 · p^n – 2 · (1 – p)² + … + C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m + … + (1 – p)ⁿ.

pⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет n раз;

n · p^n – 1 · (1 – p) — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет(n – 1) раз и не произойдет 1 раз;

C_n^n – 2 · p^n – 2 · (1 – p)² — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет (n – 2) раза и не произойдет 2 раза;

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет m раз и не произойдет (n – m) раз;

(1 – p)ⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу;

 — число сочетаний из n по m.

22) Распределение Пуассона 

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и приp –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

23) Равномерное распределение.

24) Показательным распределение

25) Нормальное распределение,

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Случайная величина  нормально распределена с параметрами a и  ,  >0, если ее плотность распределения p_ (x ) и функция распределения F_ (x) имеют соответственно вид:

,  , M = a, D =  ²_.

Часто используемая запись  ~ N(a,  ) означает, что случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами a и  .

Говорят, что случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и  = 1 ( ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:

,  , M = 0, D = 1.

Здесь   - функция Лапласа.

Функция распределения нормальной величины  ~ N(a,  ) выражается через функцию Лапласа следующим образом:  .

Если  ~ N(a,  ), то случайную величину  = (x-a)/ называют стандартизованной илинормированной случайной величиной;  ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение.