26)Правило трёх сигм

Правило 3-х  (трех “сигм”).

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина  с математическим ожиданием, равным а и дисперсией ². Определим веро­ятность попадания  в интервал (а – 3; а + 3), то есть вероятность того, что  принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3<  < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3.

27). Корреляционный момент. Коэффициент коррл.

корреляционным моментом (ковариацией) случайных величин   называют математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их средних значений:

Учитывая определение математического ожидания для дискретных и непрерывных случайных величин получаем формулы:

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Ковариация есть мера зависимости случайных величин  , что подтверждается следующей теоремой:

Теорема: для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Доказательство.

Пусть  - независимы.

Найдем их корреляционный момент:

Теорема доказана.

Следствие: если  то случайные величины – независимы.

Def: если  то  случайные величины называются некоррелированными.

Коэффициент корреляции.     Как мы знаем, если   и   - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания (§ 4, п. 1)

(72)

   Если же   и   не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,   

   Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин   и   принять безразмерную величину  , определяемую соотношением.

(73)

   и называемую коэффициентом корреляции.