2.4 Бюджетное ограничение

Потребителю нужно приобрести (купить) на рынке необходимые ему виды товаров в таком количестве, чтобы их потребление доставило максимальное удовлетворение (пользу); при этом суммарная стоимость купленных товаров не должна превышать его дохода (бюджета).Последнее условие называется бюджетным ограничением и оно подчеркивает всегда ограниченные покупательские возможности потребителя. Обращает на себя внимание "скудность" постановки задачи. Так, например, не говорится о минимальном прожиточном уровне, ниже которого объем потребления не может опускаться; нет ограничения на доход потребителя и т.д. Однако , следует исходить из того, что эта постановка общая и в случае необходимости более подробного моделирования все недостающие сведения можно "прочитать между строчками" этой постановки.

Важнейшими факторами, которые будучи формализованы и связаны подходящими математическими соотношениями и которые дают требуемую модель являются товар и его цена, цель и бюджет потребителя, его покупательская способность.

Приведем сначала необходимые обозначения.Пусть

- набор товаров,

где x_i - количества товара вида i,

n - число видов товаров,

- пространство товаров;

- вектор цен товаров,

где p_i - цена единицы товара вида i;

K - доход (бюджет) потребителя.

Мы рассматриваем статическую задачу, поэтому эти величины не зависят от фактора времени. Параметры p_i и K считаются постоянными величинами, причем цены считаются рыночными, а доход не структуризуется, то есть нас не интересует из каких частей он складывается. Компоненты x_i вектора являются неизвестными переменными. Модель составляется как раз для определения "оптимальных" значений этих переменных для данного потребителя. Цель потребителя будем описывать с помощью функции полезности

.

Наконец, мы рассматриваем некоторого "обобщенного" потребителя, никак не характеризуя его индивидуальные особенности, за исключением априорного предложения о существовании функции полезности, отражающей его индивидуальные предпочтения в .

С учетом всего сказанного выше, модель задачи потребительского выбора имеет вид:

(2.1)

Обозначим через множество всевозможных товаров, допустимых потребителю при ценах p и доходе K:

(2.2)

называемое бюджетным множеством. Графическое изображение этого множества показано на рисунке:

(2.3)

Граница

множества называется бюджетной линией.

Оптимальным решением задачи потребительского выбора (2.1) называется такой вектор , что называется спросом потребителя.

(2.4)

Данное формальное определение спроса отражает классическое понятие спроса как платежеспособную потребность.

Поскольку мы имеем дело с оптимизационной задачей (линейный или нет в зависимости от функции полезности u ) , то на этот вопрос следует ответить с точки зрения теоремы Вейерштрасса. Так как функция полезности непрерывна по факту ее существования , основная сложность заключается в компактности множества (2.2) , на котором ищется максимум функции u (2.3). В метрическом пространстве , как известно, компактность множества равнозначно его замкнутости и ограниченности. Так как бюджетное множество замкнуто по определению, то остается изучить его ограниченность.

Покажем, что ограниченность не всегда имеет место. Предположим, для некоторого i p_i=0 . Как следует из (2.1) , в этом случае "допустимым" становится любой вектор , то есть , что говорит о неограниченности бюджетного множества. А это, в свою очередь, может привести к отсутствию оптимального решения задачи (2.1) (например в случае неограниченности функции u, что является следствием ненасыщаемости потребителя). Однако, если потребитель ненасыщаем по всем товарам, то множество оказывается ограниченным. Более строже этот факт сформулирован в следующем утверждении.

Пусть бюджетное множество (2.2) обладает следующим свойством: если в последовательности при имеет место для некоторого j , то для всех i=1,...,n . Тогда бюджетное множество ограничено и в задаче (2.1) существует оптимальное решение. Если при этом функция u строго вогнута на множестве , то оптимальное решение единственно.

Итак, при фиксированных ценах и заданном доходе K оптимальное потребление определяется компонентами решения задачи (2.1).