3. Неэкономические факторы потребительского выбора

3.1 Классификация неэкономических факторов потребительского выбора

Потребители принимают свои решения не в вакууме. На совершаемые ими покупки большое влияние оказывают факторы культурного, социального, личного и психологического порядка (рис.3). В большинстве своем это факторы, не поддающиеся контролю со стороны деятелей рынка. Но их обязательно следует принимать в расчет.

Рисунок 3. Факторы, оказывающие влияние на покупательское поведение.

4. Задача потребительского выбора

Считается, что потребитель располагает доходом I, который полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. На множестве потребительских наборов

x=(x1, x2, …, xn)Î  благ определена функция , называемая функцией полезности потребителя, которая на потребительском наборе (x1, x2, …, xn) равна потребительской оценке индивидуума для этого набора.

 

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1. Увеличение потребления одного продукта при постоянном потреблении других ведет к росту потребительской оценки:

.

2. Предельная полезность (первая частная производная) каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности):

.

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество потребления других продуктов:

.

Линия, соединяющая потребительские наборы (x1, x2, …, xn), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линей безразличия, которая и есть линия уровня функции полезности.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (x1, x2, …, xn), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении и является задачей выпуклого программирования.

Так как функция полезности выпуклая, на бюджетном множестве существует единственная точка максимума функции полезности.

Пусть задана целевая функция полезности (предпочтения) потребителя

u(x1, …, xn), где xi – количество i-го блага, вектор цен p=(p1, …, pn)  и доход I. Записав бюджетное ограничение и ограничения на неотрицательность, получаем задачу u(x1, …, xn)®max при условиях , xi³0, i=1, …, n.

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа к задаче выпуклого программирования. Функция   , заданная на декартовом произведении Rn´R2, называется функцией Лагранжа задачи потребительского выбора.

Выписываем необходимые условия экстремума:

а) условие стационарности:

 i=1, …, n,

где x* – точка локального экстремума в задаче потребительского выбора;

б) условие дополняющей нежесткости:

;

в) условие неотрицательности (согласования знаков) l³0;

г) условие допустимости .

Из условия а) следует, что l>0, в противном случае все предельные полезности были бы равны нулю, что ведет к противоречию свойства 1. Отсюда вытекает следующая система уравнений:

,

.

Логично, что для всех i, j в точке x* локального рыночного равновесия выполняется

,

.

Исключив λ из этой системы, получаем равенство .

Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен.

Геометрически решение  можно интерпретировать как точку касания линии безразличия (линии уровня) функции полезности u(x1, …, xn) с бюджетной прямой pixi+pjxj=I (см. рис. 1). Это определяется тем, что отношение  показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение  представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Задача –u(x1, …, xn)®min                            (4.1)

при условиях ,                              (4.2)

xi³0, i=1, …, n                                                        (4.3)

(здесь  – функция, зависящая от xi (количества благ i-го вида); ki, li, ri, si – числовые параметры), является двойственной задачей потребительского выбора с нелинейными ограничениями.

Основная задача метода штрафных функций состоит в преобразовании задачи минимизации функции –u(x) с соответствующими ограничениями, наложенными на x, в задачу поиска минимума без ограничений функции vk(x)= –u(x)+Pk(x).

Функция Pk(x) является штрафной. Необходимо, чтобы при нарушении ограничений она штрафовала функцию vk(x), то есть увеличивала ее значение. В этом случае минимум функции vk(x) будет находиться внутри области ограничений.

Методы штрафных функций разделяются на методы внутренней и внешней точки. Метод штрафных функций называется методом внутренней (внешней) точки, если все точки последовательности x[k], k=0, 1, 2, …, являются допустимыми (недопустимыми). Вид метода (внутренней или внешней точки) определяет вид штрафной функции и правило, по которому производится пересчет штрафного параметра после решения очередной задачи безусловной минимизации.

Рассмотрим следующие штрафные функции: внутренняя штрафная функция к (4.1)–(4.3)

                     (4.4)

и внешняя штрафная функция

,  (4.5)

где Dk – коэффициенты штрафа (штрафные параметры), k=1, 2, 3, …

Тогда, учитывая штрафную функцию (4.5), исходная задача потребительского выбора переходит к следующей задаче безусловного экстремума:

xi³0, i=1, ..., n.

Алгоритм численной задачи условной минимизации методом штрафных функций заключается в следующем.

1. Задаются e, d1, d2, D0, c и x[0]; определяется x[0] (внутренняя или внешняя); выбирается штрафная функция Pk; строится расширенная функция vk; полагается k=1.

2. Решается задача безусловной минимизации vk(x, Dk–1)®min, , одним из численных методов. При этом начальная точка x(0)=x[k–1], условие окончания вычислений . Результатом решения задачи безусловной минимизации является точка x[k], в качестве которой используется оценка x(i) точки минимума задачи безусловной минимизации.

3. Проверяется условие при k=1. Если оно выполняется, осуществляется переход к п. 5. Если условие не выполняется – переход к п. 4.

4. Проверяются условия окончания решения исходной задачи:

,

.

Если они выполняются, полагается    и вычисления завершаются. Если условия не выполняются – переход к п. 5.

5. Определяется Dk=Dk/c (в случае внутренней штрафной функции) и Dk=Dk´c (в случае внешней), полагается k=k+1 и осуществляется пере- ход к п. 2.

Для приведенного численного решения задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями были рассмотрены следующие функции полезности:

-    функция полезности с полным взаимозамещением благ: , где bi – числовая оценка полезности от потребителя единицы блага i-го вида;

-     функция полезности с полным взаимодополнением благ: , где bi – количество блага i-го вида, приходящееся на единицу полезности;

-     функция полезности Кобба–Дугласа: , где a – фактор шкалы изменения полезности, b1+b2+…+bn=1;

-     функция полезности замещающе-дополня­ющего типа: , где v1, v2, ..., vn находятся из системы неравенств ;

-     квадратичная функция полезности: u(x)= , где a+xTB>0; xT – транспонированный вектор x; B – положительно определенная n´n матрица;

-     логарифмическая функция полезности: , где ai>0, xi>bi³0;

-     экспоненциальная функция полезности: , где a>0, w(x)=a1x1+a2x2+…+anxn;

-     ф ункция полезности Стоуна:   , где ai – минимально необходимое количество i-го блага, которое приобретается при любом случае и не является предметом выбора, коэффициенты ai>0 характеризуют относительную ценность благ для потребления.

Ввод данных: размерность n=2, параметры штрафной функции k=(300; 300), l=(50; 50), r=(10; 10) и s=(1; 1), бюджет потребителя I=1000. Критерий останова:

,

.

Для исследования сходимости метода штрафных функций была выбрана следующая внутренняя штрафная функция:

, (4.6)

где b=(10; 10) – начальное приближение, x=(10; 10) – внутренняя точка.

Результаты минимизации функции (4.6) методом внутренних штрафных функций отражены в таблице 1.

Таблица 1

Этап штрафного метода	Количество итераций в методе градиентного спуска	Значение функции vk(x)
1	27	–483,748169290347
2	19	–486,601912700893
3	22	–487,504261002403
4	20	–487,789600150714
5	20	–487,879831468878
6	22	–487,90836503274
7	19	–487,917388129467

Результаты эксперимента, отраженные в таблице 1, показаны на рисунке 2.

Для исследования сходимости метода штрафных функций была выбрана следующая внешняя штрафная функция:

                   (4.7)

где p=2, b=(10; 10) – начальное приближение, x=(20; 20) – внешняя точка.

Результаты минимизации функции (4.7) методом внешних штрафных функций отражены в таблице 2.

Таблица 2

Этап штрафного метода	Количество итераций в методе градиентного спуска	Значение функции vk(x)
1	46	–487,926299087495
2	23	–487,922034888234
3	24	–487,921608467512

Решение задачи потребительского выбора с нелинейными ограничениями носит особый характер в нахождении оптимального набора товаров, так как это задача нелинейного программирования. Для ее решения был использован математический метод штрафных функций.