Входная информация

Учимся решать задачи.

Пример 1. Упростим сумму

.

Вынесем из-под знака корня в выражении множитель , а в выражении множитель . Получим:

.

Пример 2. Преобразуем произведение

.

Вынеся общий множитель (число 3) за скобки в первом множителе, получим:

.

Пример 3. Сократим дробь

.

Пользуясь равенством , которое выполняется при , любое неотрицательное число можно представить в виде квадрата некоторого числа, в частности . Значит, числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений:

.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из заданий вам необходимо выполнить. В случае трудностей обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 2. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 3. Упростите выражение:

а) , если ;

б) , если .

Задание 4. Выполните действия:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

Задание 5. Докажите, что значения выражений и –взаимно обратные числа.

Задание 6. Упростите:

а) ; б) .

Задание 7. Выполните деление:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 8. Разложите на множители:

а) ; г) , если ;

б) ; д) , если ;

в) ; е) , если ; .

Задание 9. Сократите дробь:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 10. Упростите выражение:

а) ;

б) .

Задание 11. Докажите, что число а является корнем уравнения:

а) ;

б) .

Задание 12. Выполните действия:

а) ; в) ;

б) г) .

Задание 13. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) ;

е) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

К заданию 2. Обозначив данное выражение через А, получим:

а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) .

Ответы: а) 18; б) ; в) ; д) 2 .

К заданию 3. а) ; б) .

К заданию 4. а) ; б) ; в) ; д) 10; е) ; з) .

К заданию 5. Имеем: .

К заданию 6. а) 25; б) 21.

К заданию 7. а) 8; б) 24; в) ; г) 2.

К заданию 8. Обозначив данное выражение через А, получим:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

К заданию 10. а) ; б)

УЭ-4. Преобразование двойных радикалов

Ваша цель: добиться того, чтобы ваши действия по преобразованию двойных радикалов удовлетворяли таким требованиям, как правильность, осознанность, рациональность и прочность.

Входная информация

Учимся решать задачи.

Выражение вида называют двойным, или сложным радикалом.

Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством

.

Пример 1. Упростим выражение

.

Слагаемое можно рассматривать как удвоенное произведение чисел 2 и или 1 и . Число 9 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Очевидно, что это условие выполняется для чисел 2 и , т.е. .

Тогда получим:

.

Пример 2. Разность

является целым числом. Найдем это число.

Имеем:

Итак, на практике иногда удобно пользоваться формулами:

,

, где .

В некоторых случаях при преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни, полезно использовать тождество:

, (1)

где , причем знаки берутся или только верхние, или только нижние.

Это тождество иногда называют формулой сложного радикала.

Чтобы доказать равенство (1), заметим, что при левая и правая его части являются положительными числами.

Возведя левую часть равенства (1) в квадрат, получим . Возведя правую часть равенства (1) в квадрат, получим:

Итак, квадраты обеих частей равенства (1) равны, а так как эти числа положительные, то равенство (1) доказано.

Пример 3. Преобразуем выражение

.

По формуле радикала имеем:

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из заданий вам необходимо выполнить. В случае трудностей обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Верно ли равенство:

а) ; б) ?

Ответ обоснуйте.

Задание 2. Удовлетворяет ли число неравенству ?

Задание 3. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 4. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 5. Разность является целым числом. Найдите это число.

Задание 6. Разность является целым числом. Найдите это число.

Задание 7. Докажите, что значение выражения является целым числом:

а) ;

б) .

Задание 8. Упростите сложные радикалы:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 9. Докажите равенство:

а) ;

б) .

Задание 10. Упростите выражение .

Задание 11. Докажите, что выражение

равно 2, если ; равно , если .

Задание 12. Докажите, что .

Задание 13. Докажите, что

.

Задание 14. Упростите выражение:

а) ; б) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 2. Да.

К заданию 3. а)

;

б) ;

в) .

К заданию 4. а) 2; б) ; в) 2; г) 10.

К заданию 5. Имеем:

= .

К заданию 6. .

К заданию 8. а) ; в) .

К заданию 11. Преобразуем данное выражение, применив формулу сложного радикала, или воспользуемся методом подстановки: .

К заданию 12. Приведем знаменатели дробей к виду:

;

.

Затем выполним преобразования, указанные в условии задачи.

К заданию 13. Рассмотрим произведение двух последних радикалов. Оно будет равно . Произведение этого и второго радикала будет равно . Значит, все произведение будет равно единице.