38 Изображение движений в фазовом пространстве

Понятие фазового пространства

Фазовым пространством называется такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Рис. 5.5 Геометрическая интерпретация признака устойчивости:

а − все корни с отрицательной действительной частью;

б − часть корней имеет положительную действительную часть

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем.

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(5.7)

описывающей переходный процесс при наличии возмущений

x(t) = {x₁, x₂, ..., x_n}.

В качестве фазовых координат выбирают выходную координату системы и ее производные.

Точка фазового пространства (рис. 5.5), соответствующая состоянию системы в данный момент времени t, называется изображающей точкой (М).

Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.

Каждому переходному процессу в системе соответствует своя определенная фазовая траектория в фазовом пространстве и наоборот.

Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (5.7) для системы второго порядка в общем случае записывается в виде:

39 Фазовые траектории для систем второго порядка обладают следующими свойствами.

1 В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траектории, т.е. через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна траектория. Исключение составляет начало координат: y₁ = 0, y₂ = 0, которое соответствует состоянию равновесия. Уравнение состояния равновесия:

Направление касательной в начале координат неопределенно, поэтому начало координат, соответствующее состоянию равновесия системы, называется особой точкой.

2. Направление движения на траектории отмечают стрелками. движение изображающей точки по фазовой траектории происходит по часовой стрелке вокруг начала координат.

3. В точках y₁ = 0, y₂ = 0, т.е. в особых точках, происходит остановка движения.

4. В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом, так как при y₂(t) = 0, а y₁(t) = y(t) достигает своего максимума.

5 В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних − справа налево, так как при переменная y₁(t) = y(t) возрастает, а при переменная y₁(t) = y(t) убывает.

6 В любой точке фазовой плоскости, где переменная y₂(t) и функция f₂(y₁, y₂) не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее производной в данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.

Начальные условия переходного процесса определяют координаты начальной точки m₀ на фазовой траектории.

Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называется фазовым портретом системы.