14. Производящая функция дискретной случайной величины
15. Формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины через производящую функцию
Примеры производящих функций
16. Схемы испытаний Бернулли.
В теории вероятности не редко приходится рассматривать задачи, где опыты повторяются или аналогичны в таких задачах нас будет интересовать вероятность заранее заданного числа наступлений во всех испытаниях.
Несколько опытов называются независимыми, если вероятность одного или иного из исходов каждого их опытов не зависит от того какие исходы имели другие опыты.
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р [0,1], «неудача» — с вероятностью q = 1 - p.
Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.
Формула Бернулли
формула Бернулли применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.
Если число испытаний n стремится к 0, а вероятность появления события А в каждом из опытов р стремится к 0, то для определения вероятности появления события А ровно m раз применяют формулу Пуассона
a=n*p
17. Биномиальное распределение.
Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна
Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона
Для
определения числовых характеристик в
биномиальное распределение подставить
вероятность которая определяется по
формуле Бернулли.
При биномиальном распределении дисперсия равна мат. ожиданию умноженному на вероятность появления события в отдельном опыте.
18. Математическое ожидание, дисперсия и производящая функция биномиальной случайной величины.
20. Распределение пуассона.
Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.
λ=np
n-число проведенных опытов
р-вероятность появления события в каждом опыте
пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0.
Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого такие характеристики как мат. oжидание и дисперсия совпадают и они равны параметру этого закона распределения =λ.
19. Мода биномиального распределения.
21. Предельная теорема пуассона.
23. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
25. Закон больших чисел в схеме Бернулли
26. Непрерывные случайные величины. Свойство плотности распределения.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно. Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)
Непрерывная случайная величина ξ, если существует неотрицательная функция fξ(x) такая, что для любого х R функция распределения Fξ(x) представима в виде
При этом функция fξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.
Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения F(х) F`(x)=f(x)
График плотности распределения называется кривой распределения.
Основные свойства плотности функции распределения:
f(х)≥0
,
,P(ξ=a)=0