13. Основные понятия теории массового обслуживания.
14. Система обозначения смо.
Для стандартизации моделей массового обслуживания применяются специальные обозначения вида:
(а/b/c):(d/e/f)
Символы а, b, c, d, e, f описывают наиболее существенные элементы модельного представления процессов массового обслуживания и интерпретируются следующим образом:
а - распределение моментов поступления требований (заявок);
b- распределение времени обслуживания (или выбытий обслуженных требований);
c- число устройств (каналов) обслуживания;
d- дисциплина очереди;
e- максимальное число, допускаемых в систему требований (число заявок в очереди+число требований, принятых на обслуживание);
f- ёмкость источника требований.
Для конкретизации a и b приняты следующие стандартные обозначения:
М – пуассоновское (или марковское) распределение моментов поступления требований на обслуживание или выбытий из системы обслуженных требований (или экспоненциальное распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания требований).
D – фиксированный (детерминированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему требований на обслуживание или фиксированная (детерминированная) продолжительность обслуживания.
Еk – распределение Эрланга ( -распределение) интервалов времени между моментами последовательных поступлений в систему требований на обслуживание или продолжительности обслуживания (k – параметр распределения).
GI – распределение произвольного вида моментов поступления в систему требований на обслуживание или интервалов времени между последовательными выбытиями требований.
Только для b и d применяют соответственно обозначения:
G – распределение произвольного вида моментов выбытия из системы обслуженных требований или продолжительности обслуживания.
GD – дисциплина очереди не регламентирована.
Для любой СМО GI/G/n
- интенсивность потока требований, поступающих в систему;
- скорость обслуживания в системе, когда
все устройства заняты.
- называется коэффициентом использования
СМО.
– показатель того, на сколько задействованы ресурсы системы.
15. Основные характеристики эффективности смо. Показатели эффективности работы смо.
Конечная цель анализа систем и процессов массового обслуживания заключается в разработке критериев (или показателей эффективности функционирования СМО). Необходимо сразу же подчеркнуть одно обстоятельство: поскольку процесс массового обслуживания протекает во времени, следует заранее договориться, какой режим работы нас интересует – неустановившийся (переходный) или стационарный.
В СМО
самый начальный период функционирования
наблюдается неустановившийся режим
(поведение системы является функцией
времени), а по истечении достаточно
большого интервала времени достигается
стационарный режим. Следует заметить,
что если интенсивность
поступлений требований превышает
скорость обслуживания требований 
,
то стационарный режим окажется
недостижимым, т.е. очередь, со временем,
будет постепенно увеличиваться.
Остановимся на анализе стационарных процессов и интерпретации результатов, полученных в предположении, что условия стационарности выполняются. Это оправдывается тем, что на практике СМО обычно предназначаются для работы в течение весьма длительного времени. При выполнении условий стационарности, как правило, рассматриваются следующие характеристики СМО:
Pk – вероятность того, что в системе находится k-требований.
Ls – среднее число, находящихся в системе требований.
Lq – среднее число требований в очереди на обслуживание.
Ws – средняя продолжительность пребывания требования в системе.
Wq – средняя продолжительность пребывания требований в очереди.
По определению:
К наиболее общим и нужным результатам для СМОотносятся так называемые уравнения сохранения:
Эти
уравнения выполняются для любой СМО,
где существуют показатели 
и 
.
– среднее время обслуживания.
Приведенные
выше показатели работы системы могут
быть аналитически вычислены для СМО
M/M/n(n
1).
Также допускают аналитическое решение системы вида M/G/1 при любом распределении G (распределения выбытий) и некоторые другие системы. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным, чтобы аналитическое решение стало возможным.
Например, можно аналитически показать, что среднее число требований, находящихся в системе М/М/1 вычисляется по формуле
Еще один интересный пример аналитического решения.
Формула Поллачека-Хинчина:
Где
и
обозначает
математическое ожидание и дисперсию
распределения времени обслуживания.
Эта формула верна для модели:
(M/G/1):(GD/∞/∞)
Из этой формулы следует:
Т.о. если имеет большое значение, то перегрузка (в данном случае, измеряемая как ) будет большой, чего и следовало ожидать. Менее очевидный факт заключается в том, что перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним.