Тема №3
3. Плоскость
3.1 Способы задания плоскости
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
2. Прямой и точкой вне ее.
3. Двумя пересекающимися прямыми.
4. Двумя параллельными прямыми.
5. Плоской фигурой.
6. Следами. Рис. 38
3.2 Понятие о плоскостях, заданных следами
Следом плоскости называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций.
α ∩ π1 = h0α ≡ hI0α
α ∩ π2 = f0α ≡ f II0α
Точки пересечения плоскости с координатными осями называются точками схода следов.
α ∩ Ox = Xα
α ∩ Oy = Yα Рис. 39
α ∩ Oz = Zα
3.3 Плоскости одно- и двусторонней видимости
Признаком плоскости односторонней видимости на эпюре является:
- расположение обоих следов по одну сторону от перпендикуляра, проведенного в точке схода следов к оси.
- порядок прочтения индексов плоскости по (или против) часовой стрелки одинаков на обеих проекциях. Рис 40
Плоскости двусторонней видимости показаны на Рис. 41
3.4 Частные положения плоскостей в пространстве
3.4.1 Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (проецирующие плоскости)
1. Горизонтально проецирующая плоскость.
Рис. 42, 43
Основным свойством плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π1 в прямую, а угол β° = α^π2.
2.Фронтально проецирующая плоскость.
Рис. 44, 45
Основным свойством плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π2 в прямую, а угол α° = α^π1.
3.4.2 Плоскости, параллельные плоскостям проекций (плоскости уровня)
1. Плоскость α (АВС), параллельная π1, называется горизонтальной плоскостью.
Рис. 46, 47
2. Плоскость α (АВС), параллельная π2, называется фронтальной плоскостью.
Рис. 48, 49
3.5 Прямая и точка в плоскости
3.5.1 Прямая принадлежит плоскости если:
1. Она проходит через две точки, принадлежащие плоскости
Рис. 50, 51
2. Ее следы принадлежат следам плоскости
Рис. 52
Она проходит через точку, принадлежащую плоскости и параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости.
Рис. 53.1
3.5.2 Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости.
Рис. 53.1, 53.2
3.6 Главные линии плоскости
Главными линиями плоскости называются линии уровня (горизонталь, фронталь) и линия наибольшего ската.
3.6.1 Горизонталью плоскости называется прямая h(hI,hII), принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 54, 55, 56
Координата z называется отметкой горизонтали.
3.6.2 Фронталью плоскости называется прямая f(fI,fII), принадлежащая этой плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Рис. 57, 58, 59
Координата y называется отметкой фронтали.
3.6.3 Линией наибольшего ската плоскости называется прямая g(gI,gII), принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее горизонтали или фронтали.
Рис. 60, 61, 62
3.7 Взаимное положение прямой и плоскости
3.7.1 Прямая параллельна плоскости если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.
Рис. 63.1, 63.2
3.7.2 Прямая перпендикулярна плоскости если:
1. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Для того, чтобы прямые углы спроецировались в натуральную величину (инвариантное свойство 10), необходимо перпендикуляр опускать к горизонтали и фронтали плоскости.
Рис. 64
2. если плоскость задана следами, то перпендикуляр можно опускать непосредственно к следам плоскости.
Рис. 65
3.8 Взаимное положение плоскостей
3.8.1 Плоскости параллельны если:
1. Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Рис. 66
2. Когда плоскости заданы следами, то их следы должны быть параллельны.
Рис. 67
3.8.2 Плоскости перпендикулярны если:
Одна проходит через перпендикуляр к другой. В случае плоской фигуры рис. 68
3.9 Пересечение плоскостей
Плоскости заданы следами
3.9.1 Плоскость α || π1, значит линия пересечения плоскостей α и β также параллельна π1, то есть является горизонталью β: α ∩ β = h ≡ a
Рис. 69
Если плоскость задана плоской фигурой, линия пересечения так же является горизонталью Δ АВС: АВС ∩ α = MN ≡ h ≡ a
Рис. 70
3.9.2 Плоскость β || π2
Аналогично α ∩ β = f ≡ b
ABC ∩ β = MN ≡ f ≡ b Рис 71, 72
3.9.3 Следы плоскостей пересекаются в пределах видимости чертежа
Линия пересечения проходит через точки пересечения одноименных следов:
h0α ∩ f0β = F(FI,FII)
α ∩ β = (FH)
f0α ∩ f0β = H(HI,HII)
Рис. 73
3.9.4 Следы не пересекаются в пределах видимости чертежа
Применяем вспомогательные секущие плоскости. Алгоритм решения.
1. δ1 || π1 (f0δ1 || Ох)
2. α ∩ δ1 = (1-5) (5 – произвольная точка)
β ∩ δ1 = (2-6) (6 – произвольная точка)
3. (1-5) ∩ (2-6) = N
4. δ2 || π1 (f0β2 || Ох)
5. α ∩ δ2 = (3-7) (7 – произвольная точка)
β ∩ δ2 = (4-8) (8 – произвольная точка)
6. (3-7) ∩ (4-8) = M
7. α ∩ β = MN
Рис. 74
3.9.5 Плоскости заданы плоскими фигурами
Задача решается с помощью вспомогательных секущих плоскостей. рис. 75
Аналогично задача рис. 76
Алгоритм решения.
1. δ1 || π1 (f0δ1 || Ох)
2. АВС ∩ δ1 = (А-4)
DEF ∩ δ1 = (2-3)
3. (A-1) ∩ (2-3) = M
4. δ2 || π1 (f0β2 || Ох)
5. ABC ∩ δ2 = (4-5)
DEF ∩ δ2 = (6-7)
6. (4-5) ∩ (6-7) = N
7. ABC ∩ DEF = MN
3.10 Пересечение прямой с плоскостью Рис. 77
Алгоритм решения.
Найдем точку пересечения прямой АВ (а) с плоскостью DEF (α). Заключаем прямую в плоскость β. Ищем линию пересечения плоскостей α ∩ β = MN. Пересечение прямых АВ с MN есть искомая точка К. Рис. 78
АВ э β
DEF (α) ∩ β = MN
MN ∩ AB = К
AB ∩ DEF = К
Найдем точку пересечения прямой АВ с плоскостью α, заданной следами. Алгоритм решения – тот же. Рис. 79