- •8. Матрицы основные определения.
- •9. Линейные операции над матрицами.
- •10. Умножение матриц.
- •11. Ранг матрицы.
- •12. Определители второго и третьего порядка.
- •13. Определитель n – ого порядка.
- •14. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •15.Свойства определителей.
- •16. Обратная матрица и её вычисление.
- •17. Слау (основные определения) необходимое и достаточное условие существования решений слау.
- •29. Комплексные числа в тригонометрической форме и в показательной.
- •33. Векторное произведение векторов.
- •5. Скалярное произведение векторов и угол между ними.
- •34. Смешанное произведение векторов.
- •25. Уравнение прямой на плоскости.
- •26. Уравнение плоскости в пространстве.
- •36. Уравнение эллипса
- •37. Уравнение гиперболы.
- •38. Уравнение параболы
- •35.Уравнение окружности
- •3. Связные и свободные вектора, их свойства.
33. Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:
1. Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;
2. Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;
3. Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).
Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .
Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:
, ,
то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой ,
или
.
5. Скалярное произведение векторов и угол между ними.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Если векторы и заданы своими координатами: , ,то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
.Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторо .
Угол между векторами
дается формулой , или в координатах
.
34. Смешанное произведение векторов.
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.
Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.
Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .
Если векторы , , заданы своими координатами: , , то смешанное произведение определяется формулой
.
25. Уравнение прямой на плоскости.
1. Ах + Ву + С = 0 – общее уравнение прямой.
C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) и перпендикулярно к вектору нормали (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
3. Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
4. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: иобозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
5. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
6. Уравнение прямой в отрезках: , где
7. Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
8. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
9. Угол между прямыми на плоскости.
Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как .
Две прямые параллельны, если k1 = k2 . A1\A2 = B1\B2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 . A1A2+B1B2 = 0
10.Расстояние от точки до прямой. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
11. Каноническое уравнение: