§10. Газ в поле силы тяжести. Распределение Больцмана. Газовые оболочки небесных тел

1.  Атмосферы планет.  Если бы не было теплового движения молекул, то под действием силы тяжести все молекулы газа собрались бы на поверхности планеты.  А если бы не было силы тяжести, то все молекулы газа разлетелись бы в мировое пространство.  Таким образом газовые оболочки планет существуют благодаря хаотическому движению молекул и силе тяжести.

2.  Барометрическая формула для центрально-симметричного поля тяготения.  Найдем зависимость давления газа в атмосфере планеты от расстояния до центра в пространстве над поверхностью планеты (рис.28).

П усть на поверхности планеты радиуса R₀ давление газа p₀.  С ростом высоты давление убывает.  Поэтому приращение давления отрицательно,  dp =  gdR. (10.1)

Но – ускорение силы тяжести.  Здесь M – масса планеты, G – гравитационная постоянная.  Плотность газа ρ зависит от давления.  Так как  = nm, где m – масса отдельной молекулы, то выразив концентрацию n из уравнения Клаузиуса p = nkT, n = p/kT, получаем.

. (10.2)

Это дифференциальное уравнение 1-го порядка.  Разделим переменные p, R и проинтегрируем.  

,     , . (10.3)

Постоянную C найдем из краевого условия:

.   , .

Подставляем.   , или . (10.4)

Потенцируем и возвращаемся к исходным величинам.  

. Барометрическая формула.   (10.5)

Это барометрическая формула для центрально-симметричного поля тяготения для пространства R ≥ R₀.

3.  Барометрическая формула для однородного поля тяготения.  У многих планет газовая оболочка очень тонкая.  У Земли, например, она не более 4-5% радиуса.  Поэтому при малых перепадах высот изменением напряженности поля тяготения можно пренебречь и считать его постоянным.  Формула в этом случае упрощается.

Обозначим R = R₀ + h, где h<<R₀.  Тогда

и . (10.6)

Здесь - ускорение силы тяжести на поверхности планеты.  .

Барометрическая формула для однородного поля тяготения (10.7)

4.  Распределение Больцмана.  Если в барометрической формуле (10.7) перейти от давления к концентрации по формуле Клаузиуса p = nkT, то получаем закон распределения молекул газа по высоте в однородном поле силы тяжести.

, или , или . (10.8)

В показатель экспоненты входит потенциальная энергия молекул в поле силы тяжести

П = mgh.  Так что .  Распределение Больцмана, 1866. (10.9)

Распределение молекул или каких-то других частиц в потенциальном силовом поле в условиях теплового равновесия по величине потенциальной энергии называется распределением Больцмана.  Физическая природа силового поля роли не играет.  Важно лишь, чтобы поле было постоянно и консервативно.  Поэтому распределение вида (10.9) применимо и к другим объектам природы, например, к электронам проводимости в металлах.

5.  Опытная проверка барометрической формулы.  Как следует из формул (10.7) и (10.8), давление и концентрация частиц в газовой оболочке уменьшаются с высотой тем быстрее, чем больше масса молекул газа.  Скорость изменения p и n удобно характеризовать толщиной слоя h, в котором давление и концентрация частиц изменяются в e = 2,7 раз.  В этом случае , . (10.10)

В водородной атмосфере Земли при T = 273 K величина h около 120 км, в азотной – 8,3 км, в атмосфере углекислого газа (СО₂, М = 4410^3 кг/моль) h = 5,2 км.

Опытную проверку барометрической формулы удобно делать на эмульсиях, дымах или туманах.  Так, например, масса капельки воды диаметром 0,1 мкм составляет 51^19 кг.  В 1908-1909 г.  Жан Перрен показал, что такие взвешенные броуновские частицы можно трактовать как невзаимодействующие между собой молекулы очень больших размеров.  Толщина слоя тумана из таких капелек, в котором концентрация частиц изменяется в e раз, составляет около 0,75 мм.  Это позволяет измерять концентрацию частиц визуально с помощью оптического микроскопа.

Перрен работал с эмульсиями, которые он получал, растворяя смолу мастикового дерева в спирте, а затем разбавляя спиртовый раствор водой.  Размер шариков достигал здесь 1 мкм.  Размер шариков эмульсии, полученной аналогичным образом из сока гевеи, составлял 0,4 мкм.  Эмульсия помещалась в герметичную горизонтальную кювету высотой 0,1 мм, и с помощью вертикального тубуса подсчитывалась концентрация частиц на разных высотах.

Перрен показал, что равновесное распределение концентрации по высоте устанавливается уже через 1 час, после приготовления эмульсии и соответствует формуле Больцмана.

6.  Неравновесность газовых оболочек.  Из формулы (10.5) следует важный вывод.  При R  ∞ давление и концентрация молекул газа не обращаются в нуль.

, (10.11)

Здесь , – наиболее вероятная скорость молекул газа.  Для азота при Т = 273 К u_в = 410² м/с.  Остаточная концентрация молекул азотной атмосферы, например, Земли, составляет . (10.12)

И хотя это исчезающе малая величина, формально-логический подход приводит к заключению, что в бесконечном пространстве равновесная атмосфера должна иметь бесконечную массу.  Но физически это невозможно.

Следовательно, газовые оболочки планет (и звезд) неравновесны.  Газ непрерывно растекается в мировое пространство.  Причем уходят молекулы, скорость которых достигает второй космической.  Эти быстрые молекулы находятся в правой части распределения Максвелла.  В результате средняя энергия оставшихся молекул уменьшается, температура газа понижается. Из смеси газов в первую очередь уходят самые легкие – водород и гелий.  Поэтому в атмосфере Земли, например, этих газов практически нет.

Чем меньше масса планеты, тем меньше для нее 2-я космическая скорость, тем быстрее планета теряет свою газовую оболочку.  Поэтому на Луне и Меркурии, например, нет признаков атмосфер.  С повышением температуры газа время рассеивания атмосферы уменьшается.

7 .  Барометрическая формула для пространства внутри планет.  Вопрос: как изменяется давление и концентрация частиц газа в пространстве ниже поверхности планеты вполне актуален, поскольку существуют такие объекты как Юпитер с его мощной газовой оболочкой и космические газовые шары – звезды на разных стадиях их развития.  Решение задачи усложняется тем, что становится неопределенным характер распределения плотности вещества с глубиной, вид зависимости напряженности гравитационного поля и др.  Поэтому ограничимся простым случаем распределения газового давления в радиальной шахте однородной планеты (рис.29).

Характер изменения ускорения силы тяжести g в однородном шаре радиуса R₀ нашел Ньютон в своей первой задаче тяготения, g = g₀RR₀, где g₀ – ускорение свободного падения на поверхности шара.

Рассмотрим два случая: а) газ неограниченно сжимаем, б) газ сжимаем ограниченно.

а.  Газ сжимаем неограниченно.  Перепишем уравнение (10.1).

или (10.13)

После интегрирования при начальном условии p = р₀ при R = R₀ получаем:

. (10.14)

Для неограниченно сжимаемого газа с М = 2910^3 кг/моль при Т = 273 К в центре шара давление максимально. .

Плотность вещества при таком давлении колоссальна и много больше плотности ядер.

Этот далекий от здравости смысла результат получился потому, что газ полагался идеальным, состоящим из материальных точек и способным сжиматься неограниченно.  В реальных же газах сжимаемость резко уменьшается, когда расстояние между центрами молекул приближается к одному диаметру молекул.

б.  Ограниченно сжимаемый газ.  Предположим, что газ вначале сжимается, но когда его плотность сравняется с плотностью жидкости, он ведет себя как несжимаемая жидкость.  В обычных условиях плотность газа примерно на 3 порядка меньше плотности жидкости (плотность азота при нормальных условиях 1,25 кг/м³, а плотность жидкого азота около 860 кг/м³).  Так как отношение плотностей равно отношению концентраций частиц, то радиус сферы R_ж, на котором плотность газа сравняется с плотностью жидкости, найдется из условия: , (для Земли).

По сравнению с радиусом планеты это небольшая глубина.  Для Земли она составляет всего около 63 км. Приращение давления с радиусом R на глубинах постоянной плотности R ≤ R_ж принимает вид: . (10.15)

При краевом условии получаем: (10.16)

При R << R_ж можно полагать R_ж = R₀, так что получаем: . (10.17)

Для Земли при р_ж = 10³р₀ и _ж = 10³ кг/м³ в центре планеты (R = 0) p  10¹⁰ Па.