1.1 Система координат

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел (x,y):

• x — расстояние от точки P до оси y с учетом знака

• y — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве же необходимо уже 3 координаты (x,y,z):

• x — расстояние от точки P до плоскости yz

• y — расстояние от точки P до плоскости xz

• z — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические исферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,θ,h). В терминах декартовой системы координат,

•  (радиус) — расстояние от оси z к точке P,

•  (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость

• h (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.

Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c

Сферические координаты

Сферические координаты.

Сферические координаты — трехмерный аналог полярных

1.1 Операции с векторами и их свойства

Суммой векторов   и   называется вектор     Для любых векторов    справедливы равенства 

Теорема 11.6. Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство 

Доказательство

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рисунок 11.2.3.

Правило параллелограмма

Разностью векторов   и   называется такой вектор   который в сумме с вектором   дает вектор     откуда c₁ = a₁– b₁;c₂ = a₂– b₂.

Произведением вектора   на число λ называется вектор   т. е. 

• Для любого вектора   и чисел λ и μ 

  

• Для любых двух векторов   и   и числа λ

Теорема 11.7. Абсолютная величина вектора   равна |λ || a|. Направление вектора   при   совпадает с направлением вектора   если λ > 0, и противоположно направлению вектора   если λ < 0.

Доказательство

Теорема 11.8. Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов   и   существует такое число λ, что 

Доказательство

Теорема 11.9. Пусть   и   – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор   можно единственным образом представить в виде 

Доказательство

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов   и   называется число   Скалярное произведение векторов   и   обозначется 

Для любых векторов     и   верно:

• 

• 

• 

Теорема 11.10. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство

Единичные векторы   и   имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами илиортами.

Теорема 11.11. Любой ненулевой вектор   единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде