2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

1) Линейные операции над векторами

Суммой   двух векторов   и   называется вектор, который идет из начала вектора   в конец вектора   при условии, что вектор   приложен к концу вектора   (правильно треугольника). Построение суммы   изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы   и   приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма   есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала   и   (рис. 2). Отсюда сразу следует, что  .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов  ,  ,  ,  ).

Разность   двух векторов   и   называется вектор, который в сумме с вектором   составляет вектор  . Если два вектора   и   приведены к общему началу, то разность их   есть вектор, идущий из конца   («вычитаемого») к концу   («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом  , то другой обозначается символом  . Легко видеть, что  . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение   (или также  ) вектора   на число   называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора   на модуль числа  ; он параллелен вектору   или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор  , если   - число положительное, и противоположно вектору  , если   - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

,  ,

то

,

и

.

Если  , то для любого числа 

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

,  ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов  ,  ,   называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор   лежит на оси Ох, вектор   - на оси Оу, вектор   - на оси Oz;

2). Каждый из векторов  ,  ,   направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы  ,  ,   единичные, то есть  ,  ,  .

Каким бы ни был вектор  , он всегда может быть разложен по базису  ,  ,   , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора   (то есть X, Y, Z суть проекции вектора   на координатные оси)

2) Проекция вектора на ось, свойства проекции

Пусть в пространстве даны два вектора   и  . Отложим от произвольной точки O векторы   и  . Углом между векторами  и   называется наименьший из углов  . Обозначается  . Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор   (т.е. вектор, длина которого равна единице). Под углом между вектором   и осью l понимают угол   между векторами   и  . Итак, пусть l – некоторая ось и   – вектор. Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2на оси l. Тогда проекцией вектора   на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора   на эту ось. Проекцию вектора   на ось l будем обозначать  . Ясно, что если угол между вектором   и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2– x1< 0. Наконец, если вектор   перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0. Таким образом, проекция вектора  на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Проеция вектора   на ось l равна произведению модуля вектора   на косинус угла между вектором и осью: Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим  . Если угол φ острый, то из прямоугольного   получаем  . Откуда   или  Если угол φ тупой, то x< 0,  . Тогда из     или  . Т.е.  . Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:  . Доказательство. Пусть  . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда  . Но  . Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. Если вектор   умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число: . Доказательство. Пусть угол между вектором   и осью  . Если λ > 0, то вектор   имеет то же направление, что и  , и составляет с осью такой же угол  . При λ > 0  . Если же λ < 0, то   и   имеют противоположные направления и вектор   составляет с осью угол π – φ и  . Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

3)Базис. Декартова прямоугольная система координат

Определение. Три вектора   и   называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или лежат в одной плоскости, или в параллельных плоскостях).

После приведения к одному началу компланарные векторы лежат в одной плоскости.

Определение. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой.

Теорема. Каждый вектор в пространстве, плоскости или на прямой может быть разложен по базису пространства, плоскости или прямой соответственно, причем это разложение единственно.

Таким образом, если   и  - базис пространства,  - вектор пространства, то   где  - координаты вектора   в базисе  Аналогичные разложения имееют место на плоскости и прямой.

При сложении векторов складываются соответствующие координаты, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину векторы   образуют ортонормированный базис.

Определение. Совокупность точки – начала координат и ортонормированного базиса называют декартовой прямоугольной системой координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат, а плоскости, проходящие через оси координат – координатными плоскостями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Для каждой точки   пространства существует ее радиус – вектор   Под декартовыми координатами точки   понимаются координаты ее радиус – вектора в базисе   т. е.   и 

И вообще   или   

Если точка   – начало, а точка   – конец вектора   то 

Пример. Найти координаты вектора   если   и  .

Решение.   

Коллинеарные векторы   и   отличаются длиной и направлением (сонаправлены или направлены противоположно), поэтому координаты таких векторов пропорциональны, т.е. векторы   и   коллинеарны тогда и только тогда, когда   

Например, векторы   и   коллинеарны.