11) Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

 Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

  A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0   и   A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями  α₁ и α₂  равен

                                                                  (8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                         (8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

                    A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.                                                                       (8.6)

 

       Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы  М₁М₂={x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, М₁М₃={x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ -z₁} и М₁М={x - x₁, y - y₁, z - z₁}, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                                                  (8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

   Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

                                                                                 (8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскостиопределяется по формуле:

                    ,                                                       (8.9)

где x₀,y₀,z₀ – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель  знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

12) Параметрические уравнения прямой

П оложение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора  , параллельного этой прямой.

Вектор  , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору  .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что  .

Векторы   и   коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что  , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через   и  , получаем  . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что  ,   и   отсюда 

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

П усть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и   – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор  .

Ясно, что векторы   и   коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

 – канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем   или  .

Пример. Записать уравнение прямой   в параметрическом виде.

Обозначим  , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой   перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид 

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям   соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Примеры.

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1;0;-2) параллельно вектору  .

Канонические уравнения:  .

Параметрические уравнения: 

2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(-2;1;3), М₂(-1;3;0).

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор  . Тогда l:  .