5. Проверочный расчет на прочность

При проектном расчете сечений стойки и балки был использован ряд упрощений и допущений, облегчающих расчет. В связи с этим необходимо проверить прочность подобранного сечения. Основным напряжением в стойках и балках является продольное нормальное напряжение σ, возникающее от продольной силы N и изгибающего момента  M. После того как все размеры сечения определены, его можно вычислить по формуле (8).

В формулу необходимо подставить значения координат x и y опасных точек сечения, в которых возникают наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения σ. Эти напряжения не должны превосходить допускаемых напряжений, найденных по формулам (6, 7). Кроме того, в сечении действуют касательные напряжения от перерезывающей силы Q.

, (14)

где A_Q - суммарная площадь элементов сечения, плоскость которых параллельна линии действия Q. Условие прочности

(15)

необходимо проверить в двух точках: на краю полки (σ=σ_max, τ= 0) и в месте присоединения полки к стенке (σ<σ_max, τ>0). Согласно СНиП, сечение спроектировано рационально, если условия прочности выполнены, причем в наиболее опасной точке превышение допускаемых напряжений над действующими в сечении не превосходит 5%. Если прочность не обеспечена, то необходимо увеличить его размеры. Если излишний запас прочности превышает 5%, следует попытаться уменьшить площадь сечения и массу конструкции.

6. Проверочный расчет общей устойчивости стоек

Такая проверка требуется только при действии сжимающих продольных сил. Снижение статической прочности стойки за счет потери устойчивости оценивают коэффициентом φ ≤ 1. Если силы приложены к центру сечения (M = 0), то φ зависит от гибкости стойки и характеристики материала R_y. Изгиб в этом случае происходит в направлении наибольшей гибкости стойки, т. е. вокруг оси, относительно которой момент инерции наименьший.

Гибкость стойки относительно материальной оси (т. е. оси, пересекающей элементы сечения) определяют по формуле (2):

, .

Если сечение стойки составное и изгиб происходит относительно свободной оси, то за счет нежесткого соединения ветвей ее гибкость больше, чем полученная по формуле (2), поэтому используют приведенную гибкость , где λ - гибкость, вычисленная по формуле (2).

Если сечение состоит из двух ветвей и имеет только одну свободную ось, то λ₂= 0, а - гибкость одной ветви относительно оси 1 (см. рис. 2), параллельной оси изгиба x и проходящей через центр сечения ветви. Радиус инерции ветви i_1В определяют по формуле (1) относительно оси 1. Длина ℓ₁ равна расстоянию между серединами планок, соединяющих ветви (рис. 5). ℓ₁ подбирают так, чтобы гибкость ветви была не более 80, т. е. . Если λ₁ < 40, а λ > 40, то можно вести расчет как для материальной оси, не пользуясь приведенной гибкостью λ₀.

Если сечение имеет четыре ветви и две свободных оси, то λ₂ определяют так же, как λ₁, но относительно оси 2, проходящей через центр сечения ветви перпендикулярно оси изгиба x (см. рис. 2): . В этом случае , где i_min - минимальный из двух (i_1В, i_2В) радиус инерции одной ветви.

Рис.5. Схема определения длины элементов стойки с составным сечением

При малой гибкости стойки (λ < 10) допускаемое напряжение близко к статической прочности материала [σ] →R_y, а φ→ 1.При большой гибкости (λ > 100) допускаемое напряжение зависит только от одной характеристики материала - от модуля упругости. Так как все стали имеют примерно одинаковый модуль упругости, то допускаемое напряжение мало зависит от марки стали. Значит, применение высокопрочных сталей при большой гибкости сжатой стойки нерационально. Коэффициент φ учитывает это явление, и значения φ при большой гибкости таковы (формула 9 или табл. 72 приложения 6 СНиП), что произведение R_y·φ при λ > 100 практически не зависит от R_y. Для стали ВСт3сп (R_y≈238 МПа) φ можно определить, как функцию только от наибольшей гибкости λ_max по формулам:

при 0 < λ < 72,5; (16)

при 72,5 < λ < 130

Низкие значения φ свидетельствуют о нерациональном использовании металла. В связи с этим гибкость ограничивают. Для сжатых стоек она должна быть не выше 120, что обеспечивает для стали Ст3 значение φ > 0,4. После определения φ устойчивость стойки проверяют по формуле

(17)

Если стойка сжата внецентренно, то изгиб ослабляет устойчивость и значение φ снижается. Рационально подобранное сечение имеет наименьшую гибкость в плоскости действия момента M. В связи с этим под действием изгибающего момента потеря устойчивости может произойти как в плоскости наименьшей гибкости, в которой действует момент M, так и в плоскости наибольшей гибкости. В любом случае устойчивость снижается с увеличением гибкости и относительного эксцентриситета наиболее сжатой части сечения

(см. формулу 3),

где A - площадь сечения, I – его момент инерции относительно оси изгибающего момента, а y_C – расстояние от оси до точки сечения с наибольшими сжимающими напряжениями.

Рассмотрим вначале потерю устойчивости в направлении наибольшей гибкости, перпендикулярном плоскости действия момента M. При этой изгибно-крутильной форме потери устойчивости происходит закручивание стойки, и плоскость с наибольшей гибкостью поворачивается в направлении плоскости действия момента M. Расчет устойчивости проводят по формуле (17), вычисляя коэффициент φ по формуле φ = φ_y·c.

Коэффициент φ_y определяют так же, как при центральном сжатии, по формулам (16), в зависимости от гибкости стойки λ_y или λ_y0 при изгибе вокруг оси y. Коэффициент c учитывает дополнительное снижение устойчивости от действия момента M.

(18)

Для типов сечений, предложенных в задании, α = 0,6 при m ≤ 1 и α = 0,55+0,05m при 1 < m ≤ 5; β = 1 при λ_y < 100. Для других сечений и для λ_y >100 следует определять α и β по табл. 10 СНиП.

Потеря устойчивости может также произойти в направлении наименьшей гибкости, в плоскости действия момента M. Расчет проводят по той же формуле (17), но коэффициент φ = φ_mx определяют по более сложным таблицам, учитывающим одновременное влияние гибкости λ_x (или λ_x0) в плоскости действия момента и относительного эксцентриситета m. Для ВСтЗсп и типов сечений, указанных в задании, значения φ_mx можно найти по табл. 3, если x - материальная ось сечения, и по табл. 4, если x - свободная ось. Для других материалов, типов и соотношений размеров сечений следует определять φ_mx по табл. 74 и 75 приложения 6 СНиП.

Таблица 3

λ	Значение φm при относительном эксцентриситете m
	0,1	0,5	1,0	2,0	4,0	6,0	10,0	20,0
15	0,95	0,76	0,60	0,42	0,28	0,20	0,12	0,05
30	0,91	0,69	0,55	0,39	0,26	0,19	0,12	0,05
45	0,86	0,64	0,51	0,36	0,24	0,18	0,11	0,05
60	0,77	0,59	0,46	0,33	0,22	0,17	0,10	0,05
75	0,67	0,53	0,41	0,30	0,20	0,15	0,10	0,04
90	0,58	0,47	0,38	0,28	0,19	0,14	0,09	0,04
105	0,49	0,42	0,34	0,25	0,17	0,13	0,09	0,04
120	0,40	0,37	0,31	0,22	0,16	0,12	0,08	0,04
135	0,34	0,32	0,26	0,20	0,14	0,11	0,07	0,04

Таблица 4

λ	Значение φm при относительном эксцентриситете m
	0,1	0,5	1,0	2,0	4,0	6,0	10,0	20,0
15	0,91	0,67	0,5	0,33	0,20	0,14	0,09	0,05
30	0,87	0,64	0,48	0,33	0,20	0,14	0,09	0,05
45	0,83	0,60	0,45	0,31	0,19	0,14	0,09	0,05
60	0,77	0,56	0,42	0,29	0,18	0,13	0,09	0,05
75	0,67	0,51	0,39	0,27	0,18	0,13	0,08	0,04
90	0,58	0,46	0,35	0,25	0,17	0,12	0,08	0,04
105	0,49	0,40	0,32	0,23	0,16	0,12	0,08	0,04
120	0,40	0,35	0,29	0,21	0,15	0,11	0,08	0,04
135	0,34	0,32	0,26	0,20	0,14	0,11	0,07	0,04