25. Модификации метода Ньютона и оценка погрешности приближения.

Недостатком метода Ньютона является то, что помимо самой функции на каждой итерации необходимо вычислять и производную функции. Если производная f '(x) мало меняется на отрезке [a,b], то можно вычислить ее один раз, только в точке х₀, в результате получим расчетную формулу упрощенного метода Ньютона

x_n+1 = x_n - , где n=0,1,2… .

Геометрически такая модификация означает, что все касательные заменяются прямыми, параллельными первой касательной, проведенной к кривой в точке х₀. Это приводит к увеличению количества итеративных шагов, необходимых для достижения заданной точности – сходимость становится линейной. Условия сходимости такие же, что и для метода Ньютона.

Вторая модификация связана с заменой производной разностным соотношением:

ƒ '(x_n)  ; x_n+1 = x_n - , где n=1,2,3…

Отличительной особенностью полученного таким образом метода – его двухшаговость. Под этим понимается то, что при нахождении очередного приближения требуется знание двух предыдущих. Соответственно и начальных приближений должно быть задано два: х₀ и х₁, причем х₁ должно быть выбрано между корнем и х₀ (х₁ и х₀ должны лежать по одну сторону от корня). Остальные условие сходимости этого метода такие же, как и для метода Ньютона. Скорость сходимости снижается, но незначительно: _n+1≈_n^1,618, т.е. близка к квадратичной. Геометрически вместо касательных строятся секущие по значениям функции в двух соседних приближениях, поэтому эта модификация носит название метода секущих.

26. Метoд хорд и оценка погрешности приближения.

1.6. Метод хорд

Допустим, что на [a,b] функция f(x) меняется почти линейно. Тогда ее можно заменить стягивающей хордой y(x):

= .

Точку пересечения хорды с осью абсцисс, где y(x₁)=0 примем за первое приближение к корню исходного уравнения

x₁=a- .

Аналогично x₂=x₁- .

Обобщая, получим расчетную формулу x_n+1=x_n- ,

где X―неподвижный конец интервала. Для сходимости метода должны быть выполнены все условия теоремы о сходимости метода Ньютона, только условие f(X)•f"(X)>0 определяет выбор неподвижного конца; противоположный конец берется за начальное приближение: f(x₀)•f "(x₀)<0.

Геометрическая интерпретация метода хорд показана на рис.4.

ƒ(b)

y

ƒ(х)

0 a x₁ x₂ ξ b x

ƒ(a)

27. Понятие нормы. Нормы векторов в конечномерном пространстве

Пусть X – множество однотипных элементов, объединённых по какому-либо признаку. Если в этом множестве определены операции сложения и умножения на число, то говорят, что данное множество X есть линейное пространство (иначе линейная система, линейное множество, линеал).

Иначе говоря, если x и y – элементы линейного пространства X: x X, y X, то и x+y X, и x X, где  R.

Определение. Линейное пространство называется нормированным пространством, если каждому его элементу x ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой и обозначаемое ||x||, такое, что оно удовлетворяет следующим трем аксиомам:

1. ||x||0, причем ||x||=0 только для x=0; (аксиома неотрицательности)

2. ||αx||=|α|·||x||, где  R; (аксиома однородности)

3. ||x+y||||x||+||y||. (аксиома треугольника)

Норма – это обобщение модуля вещественного числа на элементы линейного пространства. Нормированным пространством является множество n-мерных векторов с вещественными координатами

x= . (n - число измерений)

Это пространство обозначается Rⁿ. Для него широко используются следующие три нормы:

1. ||x||_=max |x_i|, где 1in; (норма-максимум)

2. ||x||₁= ; (норма-сумма)

3. ||x||₂= ²; (евклидова норма)

Иногда к этим нормам применяют геометрические названия: кубическая, октаэдрическая и сферическая, в соответствии с видом поверхности в трехмерном пространстве, определяемой уравнением ||x||=const.

В конечномерном пространстве Rⁿ все нормы вектора эквивалентны. Это означает, что существуют такие константы m и M для произведения нормы, справедливо:

m||x||_β||x||_αM||x||_β,

где m и M – константы, не зависящие от элемента x.

Так, например, поскольку

max(x_i)²x²₁+x₂²+…+x_n²nmax(x_i)², (максимум по i)

то справедливо ||x||_||x||₂ ||x||_ , т.е. здесь m=1, а M= .