18 Зависимость между непрерывностью и диф-тью ф-ий.

Теорема 1.

Если ф-ия f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке

Док-во.

Пусть ф-ия y=f(x) дифференцируема в точке x тогда существуют

y’(x)= ; (∆x≠0)

∆y= *∆x => =

Δy→0

Δx→0

Значит ф-ия непрерывна на основании 1 определения непрерывности.

Справедливо ли обратное?

Нет, существует например y=׀x׀

В 0 производная не существует, а ф-ия непрерывна.

20 Производные обратных тригонометрических ф-ий.

Производная обратной ф-ии для данной дифференцируемой ф-ии будет равна обратной величине производной данной дифференцируемой ф-ии.

X’_y=

док-во.

Если ф-ия монотонна и непрерывна, то она имеет обратную

y’(x)

f’(x)≠0

f’(x)>0

f’(x)<0

если производная отлична от нуля значит ф-ия либо возрастает либо убывает и монотонна

x(y)=g(y)

x’_y=

Δx→0 => Δy→0

21 Производная сложной ф-ии.

Производная сложной ф-ии.

y=f(z) zє(A;B)

z=φ(x); xє(α;β)

E[φ(x)]=(A;B), область изменения y=f[φ(x)], xє(α;β).

Пусть ф-ия y=f(z) дифференцируема по z, а ф-ия z=φ(x) диф-ма по x.

Теорема.

Производная сложной ф-ии y=f(z) если ф-ия y=f(z) и z=φ(x) диф-мы по своим аргументам равна производной ф-ии y по промежуточному аргументу z умноженной на производную промежуточного аргумента z по x.

Док-во.

y’_z=

• => Δf=(f’_z+α)Δz (1)

Разделим на Δx

(2)

F’_x=f’_z*z’_x

22 Производная неявной ф-ии.

При дифференцировании неявной ф-ии считают что вместо y представлена ф-ия y(x) и дифференцируют по x построчно, а затем находят y’(x)

Напр.: x²+y²=a²

x²+[y(x)]²=a²,

2x+2y(x)*y’(x)=0,

y’(x)=-x/y

23 Таблица производных.

1. (C)’=0

2. (x)’=1

3. (u+v-w)’=u’+v’-w’

4. (uv)’=u’v+uv’

5. (

6. (sin*u)’=cosu*u’

7. (cos*u)’=sinu*u’

8. (

9. 

10. (a^u)’=a^uln

11. (e^u)’=e^u*u’

12. (uⁿ)’=n*u^(n-1)*u’

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. f’x=f’_z*z’_x

20. 

24 Производные высших порядков.

Пусть ф-ия f(x) дифференцируема в некотором промежутке, ее производная f’(x) является ф-ей аргумента x и может случиться что эта ф-ия сама имеет производную. Производная от производной 1-го порядка называется производной 2-го порядка

y^u(x)=[f’(x)]’

yⁿ_x=[y^(n-1)_x]’= – производная n-ого порядка

25.Понятие о диф-ле ф-ии. Св-ва диф-ла.

Главная линейная часть полного приращения ф-ии f(x) называется дифференциалом f(x) в этой точке и обозначается df=f’(x)Δx (8) Δf=df+α*Δx (9)

Формула (8) дает возможность вывести правила по которым рассчитываются дифференциалы суммы, произведения и частного дифференцируемых ф-ий.

1. dc=0

2. d(u+v+w)=du+dv+dw

3. 

4. d*(uv)=udv+vdu

5. dx=Δx

поэтому (8) можно переписать

df=f’(x)dx (10)

f’(x)=

производная дифференцируемой ф-ии равна отношению дифференциала этой ф-ии на дифференциал.

26 Геометрический смысл диф-ла.

Для объяснения геометрического смысла дифференциала вернемся к определению производной. Дана кривая AB, A(x;f(x)); B(x+Δx;f(x+Δx))

BC=Δy, AC=Δx

Рассмотрим ∆ADC где DC=AC*tgα, DC=∆x*f’(x) (11)

Из геометрического смысла следует что

tgα=f’(x)

DC=df=∆x*f’(x)

BC=Δy=DC+BD

∆y=df+BD (12)

DC – есть приращение ординаты касательной, таким образом дифференцируемая ф-ия y=f(x) в данной точке x равен приращению ординаты касательной к графику ф-ии в этой точке когда x получил приращение Δx.

Если ф-ия вогнутая то ∆y>df

Если ф-ия выпуклая то Δy<df