3.2. Арифметические операции над случайными величинами

Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа справедливо равенство:

Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:

Y:		0	1	.
		0,5	0,5

X:		0	1
		0,5	0,5

Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства и , т.е. случайная величина Х принимает значение 0

тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.

Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

:				…
				…

и – некоторое число.

Определение. Случайной величиной называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид :

:				…
				…

Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х :		0	1	2
		0,16	0,48	0,36

и , . Тогда закон распределения :

		0	5	10
		0,16	0,48	0,36

Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами . Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0,6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.

Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события и – независимы.

Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, и – несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.

Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина ( , ), которая принимает значение в некотором испытании, если значения и случайных величин Х и в этом испытании таковы, что ( ).

Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:

Х:		0	1	Y :		0	1
		0,4	0,6			0,2	0,8

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:

	0	1
0	0	1
1	–1	0

в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так тогда и только тогда, когда и или и . Поэтому

.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины и – независимы), получаем

Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:

Аналогично,

Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:

U :		–1	0	1
		0,32	0,56	0,12

Упражнение. Составить законы распределения случайных величин

Ответ.

Z:		0	1	2	V:		0	1
		0,08	0,44	0,48			0,52	0,48

W:		0	1	R:		0	1
		0,4	0,6			0,56	0,44

Заметим, что закон распределения случайной величины Z фактически найден в примере § 3.1 о двух стрелках. Действительно, исходные независимые случайные величины X иY данной задачи могут быть интерпретированы как числа попаданий в мишень первого и второго стрелка из § 3.1. Тогда – общее число попаданий, и закон распределения этой случайной величины и найден в упомянутом примере.