Пример 2.8.
Решение. Это – также неопределенность вида 0/0. Имеем
Пример 2.9.
Найти
Решение.
Пределы числителя и знаменателя в точке
х=0
равны нулю, т.е. опять имеем неопределённость
вида
.
Для её раскрытия умножим числитель и
знаменатель данной дроби на
.
При
имеем
К полученной функции применима теорема о пределе частного, так что
.
Применение замечательных пределов.
При нахождении пределов используются также следующие пределы:
(первый
замечательный предел);
(второй
замечательный предел).
Пример 3.1. Вычислить предел
Решение. Пусть arctg 2x=y. Тогда 2х=tg y; очевидно, что если х®0, то y®0. Следовательно,
(используем первый замечательный предел).
Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной. Так как при х®0 arctg 2x~2х, то
Пример 3.2. Вычислить
предел 
.
Решение.
При х®¥
основание
стремится к 1, а показатель степени 4х+1
стремиться к бесконечности. Следовательно,
имеем неопределенность вида
.
Представим
основание в виде суммы 1 и некоторой
бесконечно малой величины:
Тогда
Положим 2х+3=-4у; при х®+¥ переменная у® -¥. Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как 2х=-4у-3, то 4х+1=-8у-5. Таким образом,
(используем второй замечательный предел).
Пример 3.3. Вычислить
предел
.
Решение. Имеем
(использовали первый замечательный предел).
Пример 3.4. Найти
предел
.
Решение.
(использовали второй замечательный предел).
Задачи для самостоятельного решения.
Найти пределы:
3.5.
Ответ.
.
3.6.
Ответ.
.
3.7.
.
Ответ.
.
Определение производной.
Рассмотрим функцию
,
определенную на некотором промежутке
X.
Возьмем любую точку
и зададим аргументу x
в точке
произвольное приращение
такое, что точка
+
также принадлежит Х.
Функция
получит приращение
+
)
–
.
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента при
(при условии, что этот предел существует).
Производная
обозначается
,
,
Итак, по определению, 
Если для некоторого
значения
выполняется условие
или (
),
то говорят, что в точке
функция
имеет бесконечную
производную
знака плюс (или знака минус). В отличие
от бесконечной производной, определенную
выше производную функции иногда называют
конечной
производной.
Функция , имеющая производную в каждой точке промежутка называется дифференцируемой на этом промежутке. Операция нахождение производной функции называется дифференцированием функции.
Пример 1.
Найдем
производную функции
.
Придав аргументу
приращение
,
находим приращение функции
:
Составим
отношение:
.
Тогда, по определению производной
.
При вычислении
предела воспользовались эквивалентностью
~
при
Итак,
,
т.е.
.
Аналогично, используя определение производной, можно вывести формулы производных основных элементарных функций:
Степенная функция
,
– любое действительное число.
,
.
Показательная функция
0.
,
Логарифмическая функция
,
0,
1.
,
,
.
Тригонометрические функции.
,
,
,
Теорема. Если функция дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.
Замечание. Обратное не верно, т.е. из непрерывности функции в некоторой точке х не следует дифференцируемость функции в этой точке.
Таким образом, в данном учебном вопросе мы познакомились с понятием производной, научились находить производные основных элементарных функций.