Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции.

Если функции и = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x)0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1) 2) 3)

4) Производная постоянной равна 0:

если , где , то .

5) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Если где , то .

Замечание. Если имеем функцию вида: , где , то .

Производная сложной функции.

Пусть и , тогда — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке х производную , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке х также имеет производную, которая равна:

или .

То есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то .

Пример 1. Дана функция . Найти .

Решение. Функцию представим как . Применяя формулу для производной сложной функции, получаем

.

Подставляя вместо и его выражение окончательно получаем:

.

Производная обратной функции.

Пусть дана функция строго монотонная (т.е. возрастающая или убывающая), определенная на некотором интервале. Рассматривая значения y как значения аргумента, а значения х как значения функции, получаем х как функцию y: Эта функция называется обратной для функции .

Теорема. Если функция строго монотонна на некотором интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством или .

Таким образом, производная одной из двух взаимно-обратных функций равна обратной величине производной второй из этих функций ).

Пример 2. Дано . Найти .

Решение. Обратная функция

.

.

Следовательно .

Аналогично находятся производные обратных тригонометрических функций:

1.

2.

3.

4.

Таблица производных основных элементарных функций.

При изучении первого учебного вопроса необходимо предварительно напомнить обучающимся изложенные на лекции понятия производной (наиболее сильных курсантов можно вызвать к доске).

Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Производная обозначается или

Итак, по определению,

(1)

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Пример 1.1. Используя определение производной, найти производную функции в точке

Решение. Придавая аргументу в точке приращение найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение

Найдем предел этого отношения при

Следовательно, производная функции в точке равна числу что в принятых обозначениях можно записать так: .

Однако, рассмотренный в данном примере метод вычисления производных является громоздким, и на практике для дифференцирования функций используются готовые табличные формулы, полученные на основании соотношения (1). Это формулы производных простейших элементарных функций.

Очень важно обратить внимание обучающихся на необходимость знания наизусть нижеследующей таблицы производных основных элементарных функций.

Таблица производных основных элементарных функций.

Пример 1.2. Вычислить производную функции .

Решение.

– это степенная функция. По таблице производных используем формулу для производной степенной функции

Применяя указанную формулу к функции , находим

Пример 1.3. Вычислить производную функции .

Решение. – это показательная функция. Используя таблицу производных, находим производную данной показательной функции:

Примеры для самостоятельной работы (решаются под руководством преподавателя):

Вычислить производные элементарных функций:

1.4. ; 1.5. ; 1.6.

Ответы:

1.4. ; 1.5. ; 1.6. .

Правила дифференцирования. Производная сложной функции.

В начале второго вопроса вспомним правила дифференцирования функций, которые наряду с таблицей производных будем применять при решении примеров:

1. если y = c, где с = const, то (производная постоянной равна нулю);

2. , с = const, то (постоянный множитель выносится за знак производной);

3. (правило дифференцирования алгебраической суммы);

4. _{(правило дифференцирования произведения);}

5. _{(правило дифференцирования частного).}

Пример 2.1.

Вычислить производную функции

Решение:

По правилу дифференцирования, производная суммы равна сумме производных и постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Пример 2.2.

Вычислить производную функции

Решение.

По правилу дифференцирования произведения функций находим:

Пример 2.3.

Вычислить производную функции .

Решение.

По правилу дифференцирования частного функций получаем:

Далее основное внимание следует уделить вычислению производных сложных функций.

Пусть y = f(u) и , тогда – сложная функция с промежуточным аргументом х.

Если функция имеет в некоторой точке x производную , а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в указанной точке x также имеет производную , т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Пример 2.4.

Вычислить производную сложной функции

Решение.

Производная показательной функции находится по правилу

.

Показатель в свою очередь тоже является степенной функцией переменной x.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Пример 2.5.

Вычислить производную сложной функции

Решение.

, u = x²  , 

Пример 2.6.

Вычислить производную сложной функции

Решение.

Предварительно, пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:

Далее, применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

Примеры для самостоятельной работы:

Вычислить производные функций:

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Ответы:

2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

ВОПРОСЫ для подготовки к зачету и экзамену по ЛА 1курс ЭФ Заочное отделение.

1. Матрицы. Типы матриц. Обратная матрица.

2. Матрицы. Действия с матрицами

3. Определители квадратных матриц и их свойства

4. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда.

5. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

7. n-мерный вектор. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора.

8. Линейная независимость векторов. Признак линейной независимости векторов.

9. Ранг матрицы.

10. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Вопросы к экз. по МА

11. Переменные и их пределы. Величины бесконечно малые и бесконечно большие.

12. Теоремы о пределах последовательностей. Раскрытие некоторых типов

неопределенностей. Замечательные пределы.

13. Функции одной переменной. Классификации функций.

14. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

15. Односторонние пределы функции.

16. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

17. Определение 1 и определение 2 непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.

18. Производная функции в точке, ее физический и геометрический смысл.

19. Производная суммы, разности, произведения и частного.

20. Сложная; неявная функции. Правило дифференцирования сложной; неявной функций.

21. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

22. Условие монотонности функции.

23. Экстремум функции. Теорема Ферма (необходимое условие экстремумов).

24. Достаточные условия экстремумов.

25. Направление вогнутости графика функции (аналитический признак).

26. Точки перегиба и выпрямления (необходимые условия, достаточные условия).

27. Приложения производных. Правило Лопиталя.