23.Инварианты и критерии подобия.

Инварианты подобия и критерии подобия. Если все сходственные величины, определяющие состояние данной системы (натуры) и подобной ей системы (модели), измерять в относительных единицах, т.е. брать сходственное отношение величин для каждой системы, то оно также будет величиной постоянной и безразмерной, например

L₁/D₁ = L₂/D₂ = ... = inv = idem = i_l; T₁/τ₁ = T₂/τ₂ = ... = i_τ.

Величины i_l, i_τ и т.д. не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для другой модели, также подобной натуре, значения i_l, i_τ ... будут те же. Таким образом, отношения геометрических размеров, времени и физических констант в данной системе (натуре) равны отношениям тех же величин в подобной системе (модели). При переходе от одной системы к другой, ей подобной, численное значение величин i_l, i_τ , ... сохраняется. Поэтому безразмерные числа i, выражающие отношение двух однородных величин в подобных системах, носят название инвариантов подобия.

Инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин, называют симплексами**, или параметрическими критериями*** (например, отношение L₁/D₁ - геометрический симплекс). Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называют критериями подобия. Обычно их обозначают начальными буквами имен ученых, внесших существенный вклад в данную область знания (например, Re-число, или критерий, Рейнольдса).

Можно получить критерии для любого физического явления. Для этого необходимо иметь аналитическую зависимость между переменными величинами рассматриваемого явления. Критерии подобия безразмерны (как и инварианты подобия), их значения для каждой точки данной системы могут меняться, но для сходственных точек подобных систем не зависят от относительных размеров натуры и модели.

____________

* invariants (лат.) - неизменяющийся.

** simplex (лат.) - простой.

*** kriterion (греч.) - признак, средство для суждения

Таким образом, явления, подобные между собой, характеризуются численно равными критериями подобия. Равенство критериев подобия - единственное количественное условие подобия процессов. Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы к критериям подобной ей системы всегда равно 1. Например, для натуры и модели Re₁ = Re₂ . Тогда

= 1, или

Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия, Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Если константы подобия найдены из условий однозначности, то образованные из них критерии называют определяющими. Критерий, в который входит искомая величина, называют определяемым. Любая комбинация критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемого явления.

Для некоторой группы подобных процессов критерии подобия имеют определенные численные значения. При переходе к другой группе подобных процессов, описываемых теми же дифференциальными уравнениями, при том же наборе критериев подобия их численные значения будут иными (вследствие, например, различий геометрических характеристик, скоростей потоков и т. д.).

Из сказанного следует, что любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление (т. е. система дифференциальных уравнений), может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия:

ƒ(К₁,К₂,К₃,...) = 0. (4.1)

Эту зависимость называют обобщенным (критериальным) уравнением, а критерии подобия К_i - обобщенными переменными величинами.

Таким образом, теория подобия дает возможность представить решение дифференциальных уравнений и обрабатывать экспериментальные данные в виде обобщенных критериальных уравнений. Это позволяет сократить число экспериментов при получении конкретных уравнений типа (4.1) за счет варьирования критериев подобия, минуя определение всех величин, входящих в критерии подобия уравнения (4.1).

Обычно уравнение (4.1) записывают в виде зависимости определяемого критерия подобия (в который входит искомая величина) от определяющих:

К₁ = ƒ₁(К₂,К₃,...) (4.2)

например,

К₁ = A К₂ⁿ,К₃^m…,

где К₁- определяемый критерий подобия; значения А, п, т находят опытным путем.

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе становится очень слабым по сравнению с другими (численные значения критериев могут быть при этом весьма малы или велики), то его влиянием можно пренебречь. В этом случае критерии, характеризующие интенсивность этого эффекта, могут быть опущены из рассмотрения, и процесс приобретает свойство автомодельности, т.е. независимости от этих критериев. Такое моделирование называют приближенным.

Таким образом, теория подобия указывает, как надо ставить опыты и обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь основание обобщать их результаты и получать закономерности для целой группы подобных явлений. Теория подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на моделях (значительно меньших по размерам и часто более простых, чем аппараты натуральной величины), используя при этом не рабочие вещества (иногда токсичные, пожаро- и взрывоопасные, дорогостоящие и т. п.), а модельные (например, воду, воздух и т. д.). Все это позволяет существенно упрощать и удешевлять эксперименты, быстрее реализовывать результаты исследований.

Необходимо иметь в виду, что при использовании теории подобия существуют определенные ограничения. Например, используя методы теории подобия, нельзя получить информации больше, чем ее содержится в исходных уравнениях. Можно без обычных математических методов интегрирования этих уравнений получить их интегральные решения, но если исходные уравнения неверно описывают физическую сущность процесса, то и полученные с использованием методов теории подобия зависимости будут неверны. Кроме того, моделирование на основе метода обобщенных переменных всегда связано с проведением эксперимента, иногда достаточно сложного и большого по объему, требующего значительных затрат времени. Полученные обобщенные уравнения работают надежно только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении эксперимента.