27. Аналитический метод получения обобщенных переменных

Ниже излагаются основы теории подобия, предложенные А. Н. Колмогоровым Предположим, что для описания изучаемых явлений используют т основных (первичных) независимых единиц измерения А₁, А₂, ... (например, единицы длимы L, массы М и времени Т). Производные единицы измерения образуются из основных согласно соотношению

. (4 .6)

Их размерность характеризуется числовыми показателями p₁, p₂, ….p_m. Каждая величина X размерности [X] = [Q] представляется в виде X = xQ (где x - числовое выражение величины X при выбранной системе основных величин).

Пусть изучается класс явлений S и пусть каждое из них определяется заданием некоторой системы величин У. Два таких явления S₁ и S₂ называют подобными, если значения величин У₂, характеризующих явление S₂, получаются из значений соответствующих величин У₁, характеризующих явление S₁, по формуле

(4.7)

где коэффициенты подобия к₁, к₂, ... , к_т постоянны, а показатели р₁, р₂, ... , р_м определяются размерностью величин У:

(4.8)

Предположим, что из системы величин У выделена некоторая часть, образующая систему определяющих параметров X, так что численное значение у любой величины У является функцией

у=f(X), численное значение х-параметров X, а вид функциональных зависимостей остается одними тем же при любом выборе основных

единиц измерения А₁, А₂

….А_ь. При таком предположении основной принцип теории подобия может быть сформулирован следующим образом: для подобия явлений S₁ и S₂ необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации определяющих параметров

(4.9)

в явлениях Si и S₂ были равны, т.е. к₁ = к₂ .

Каждое безразмерное выражение к вида (4.9) называют критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все соотношения вида

(4.10)

k= Х_{/Х₂,

где Х₁ и Х₂ – определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k₁ = k₂ в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (4.10) очевидна. Их можно называть тривиальными (симплексными). Отношения к вида (4.10) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия подобия к₁ = к₂ считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k₁ = k₂ имеется только s= n — т₁ независимых (где n -число различных размерностей величин системы , т₁ -число независимых размерностей среди этих п). Поскольку всегда m_t т, S n. — т.

Если исследуемые явления изучают с помощью дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются либо в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, либо в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Таким образом, рассмотренный аналитический метод получения обобщенных с переменных-критериев подобия - объединяет основы теории подобия с анализом размерностей и определяет необходимые и достаточные условия получения обобщенных критериальных уравнений любого процесса, для которого составлено математическое описание.