- •Лекция 6.
- •1. Основные понятия и теоремы.
- •2. Повторные независимые испытания.
- •2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.
- •2. 2. Локальная теорема Лапласа.
- •2. 3. Теорема Пуассона.
- •2. 4. Интегральная теорема Лапласа.
- •3. Дискретные случайные величины и их характеристики.
- •4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.
- •5. Закон больших чисел.
Лекция 6.
Тема лекции: Теории вероятностей.
Оглавление:
1. Основные понятия и теоремы.
2. Повторные независимые испытания.
2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.
2. 2. Локальная теорема Лапласа.
2. 3. Теорема Пуассона.
2. 4. Интегральная теорема Лапласа.
3. Дискретные случайные величины и их характеристики.
4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.
5. Закон больших чисел.
Цели лекции: Дать основные понятия и теоремы теории вероятностей, методы изучения случайных величин.
После изучения рассматриваемого материала Вы применять методы теории вероятностей при изучении случайных величин и случайных процессов
Информационные источники.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятнос- тей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1996.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, Любое издание.
5. Лычкин В.Н.Высшая математика. Учебное пособие. РГАЗУ, 2011.
6. Лычкин В.Н.Высшая математика в задачах. Учебное пособие. РГАЗУ, 2009.
1. Основные понятия и теоремы.
Случайным событием называется такое событие, которое может про-
изойти или не произойти при определенной совокупности условий, назы-
ваемых испытанием. Результат испытания называется исходом.
Случайные события обозначают заглавными буквами латинского ал-
фавита – A, B, C, D,…
Пример. Испытание – доставание шара из ящика, где лежат белые и
черные шары.
Случайное событие – вынутый шар будет белого цвета.
Достоверным событием называется событие D, которое обязательно
произойдет при данном испытании.
Пример. Доставание белого шара из ящика, где лежат только белые
шары – достоверное событие.
Невозможным событием называется событие Н, которое не произой-
дет при данном испытании.
Пример. Доставание черного шара из ящика, где лежат только белые
шары – невозможное событие.
Случайное событие , состоящее в ненаступлении события А, на-
зывается противоположным событию А.
Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – попадание
в мишень. Событие − промах.
События А и В называются несовместимыми при данном испытании,
если они не могут наступить при этом испытании совместно.
Пример. Испытание – бросание игральной кости. Событие А – выпа-
дение двух очков, событие В – выпадение трех очков. События А и В – не-
совместимые, так как они не могут появиться совместно при одном под-
брасывании кости.
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого при данном испытании.
Пример. Испытание – стрельба по цели двумя стрелками. Событие А
− в цель попал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок.
Здесь А и В – независимые события.
События образуют полную систему, если они попарно не-
совместимы, но хотя бы одно из них обязательно произойдет.
Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступле-
нии хотя бы одного из событий А и В. Обозначение: С = А + В.
Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – в цель по-
пал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок. Событие
С = А + В − попадание в цель хотя бы одним стрелком.
Произведением случайных событий А и В называется событие С, сос-
тоящее в совместном наступлении событий А и В. Обозначение: С = А•В.
Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – в цель по-
пал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок. Событие
С = А∙В – попадание в цель обоими стрелками.
Если в результате n испытаний событие А наступает к раз, то отно-
шение называется относительной частотой (частостью) события А.
Если проводится серия испытаний, то предел при последова-
тельности относительных частот называется вероятностью появления со-
бытия А в данном испытании и обозначается буквой р, то есть
.
Подобное определение вероятности называется статистическим,
поскольку оно основано на проведении большого числа испытаний. На
практике вычисляется частость наступления события, она близка к его
вероятности, если число испытаний велико, то есть
.
Пример. При стрельбе по цели из 50 выстрелов оказалось 40 попада-
ний. Какова вероятность попадания в цель при одном выстреле?
Искомая вероятность .
К определению понятия вероятности можно подойти иначе.
Вероятностью наступления случайного события называется отно-
шение числа к равновозможных исходов, благоприятствующих появлению
этого события, к общему числу n равновозможных исходов испытания, то
есть
.
Такое определение вероятности называется классическим.
Пример. Испытание – бросается игральная кость. Какова вероятность
выпадения пяти очков?
Решение.Всего имеется шесть равновозможных исходов при подбра-
сывании кости – выпадение 1, 2. 3. 4. 5. 6 очков. Интересующее нас собы-
тие (выпадение пяти очков) наступает один раз .Тогда искомая вероят-
ность .
Вероятность р(А) наступления события А обладает следующими
свойствами:
1. .
2. p(D) = 1.
3. р(Н) = 0.
Если требуется вычислить вероятность появления события А при
условии, что произошло некоторое событие В, эту вероятность называют
условной вероятностью и обозначают р(А/B).
Пример. Из колоды в 36 карт вынимают подряд две карты. Найти
вероятность того, что второй картой окажется туз, если первая вынутая
карта есть туз.
Решение.Пусть событие А – доставание первым туза; В – доставание вторым туза. При наступлении события А в колоде осталось 35 карт, из которых 3 карты – тузы. Тогда искомая вероятность р(В/А) = .
Теорема умножения вероятностей.
Если события А и В независимы, то
р(АВ) = р(А)∙р(В).
Теорема справедлива для любого конечного числа независимых событий.
Пример. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна
0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка, сделав по одно-
му выстрелу, попадут в цель.
Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрелком,
В – вторым стрелком. Поражение мишени обоими стрелками есть событие
А∙В. По теореме умножения вероятностей имеем:
р(АВ) = р(А)∙р(В) = 0,7∙0,8 = 0,56.
Теорема сложения вероятностей.
Если события А и В независимы, то
р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А)∙р(В).
При этом, если события А и В несовместимы, то
р(А + В) = р(А) + р(В).
Пример. Найти вероятность того, что при одном подбрасывании иг-
ральной кости выпадет 2 или 3 очка.
Решение. Событие А – выпадение двух очков; событие В – выпадение
трех очков. Выпадение двух или трех очков есть событие А + В. Так как
события А и В – несовместимы, то
р(А + В) = р(А) + р(В) = .
Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле пер-
вым стрелком равна 0,8, вторым – 0,9. Найти вероятность поражения цели
хотя бы одним стрелком.
Решение. Событие А – попадание в цель первым стрелком; В - вторым
стрелком. Поскольку события А и В – независимы, то
р(А +В) = 0,8 + 0,9 – 0,8∙0,9 = 0,98.
Справедлива следующая теорема:
Если событие В зависит от событий , образующих полную
систему, то .
(1)
Формула (1) называется формулой полной вероятности.
Пример. В магазин для продажи поступает однотипная продукция
трех заводов, 50 % которой поступает с первого завода, 30 % − со второго,
20 % − с третьего. Первый завод поставляет 2 % бракованной продукции,
второй – 3 %, третий – 5 % . Какова вероятность того, что приобретенное в
магазине изделие окажется качественным?
Решение. Пусть событие В − приобретено качественное изделие;
А1 – изделие поступило с первого завода; А2 – со второго завода; А3 – с
третьего завода. События А1, А2, А3 образуют полную систему.
По формуле (1) имеем:
= .